第十一章无穷级数

🗺️ 全章直觉地图：第十章把积分从”直”推向”曲”；第十一章处理另一个根本问题——无穷多项加起来会怎样？ 有限加法小学生都会，但无穷多项相加可能等于有限数（收敛），也可能炸飞（发散）。级数理论就是回答”无穷和”问题的。全章分两大块：常数项级数（§11.1–11.2）判断敛散性；函数项级数/幂级数（§11.3）把函数写成无穷多项式。

📖 建议阅读顺序

第一阶段（数项级数基础）：§11.1 → §11.2.1（正项级数审敛法）
第二阶段（任意项级数）：§11.2.2（交错）→ §11.2.3（绝对/条件收敛）
第三阶段（幂级数）：§11.3.1（收敛域）→ §11.3.2（和函数）
第四阶段（展开）：§11.3.4（泰勒级数）→ 回看§11.3.2，练习展开+求和互逆

节	主题	核心内容
§11.1	常数项级数概念与性质	收敛定义、等比/调和级数、拆项相消、必要性条件
§11.2.1	正项级数审敛法	5种方法：比较/比值/根值/积分/基本定理
§11.2.2–3	交错+任意项审敛法	莱布尼茨法、绝对/条件收敛
§11.3.1	幂级数—收敛域	Abel定理、收敛半径3种求法、端点验证
§11.3.2	幂级数—和函数	逐项求导/积分、四则运算、求和四大方法
§11.3.4	泰勒级数	9个必背麦克劳林展开式、直接/间接展开法

💡 学完这章你会发现：有极限的无穷加法 = 收敛级数，与数列极限一脉相承。常数项级数是”判断鸡蛋能不能吃”，幂级数是”把鸡蛋做成各种菜”。

§11.1 常数项级数的概念与性质

基本定义

芝诺悖论（引子）：一个人从 0 走到 1。先走一半（ $\frac{1}{2}$ ），再走剩下的一半（ $\frac{1}{4}$ ），再剩下的一半（ $\frac{1}{8}$ ）……每步走 $\frac{1}{2 ^{n}}$ 。

前 $n$ 步共走了多少？求部分和：

$S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} 等比求和 \frac{\frac{1}{2} ( 1 - \frac{1}{2 ^{n}} )}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$

当 $n \to \infty$ ， $S_{n} \to 1$ 。这就是”无穷多项相加等于有限数”——不是真的加无穷次，而是前 $n$ 项和的极限。

这就是级数的核心定义 ⬇

常数项级数： $n = 1 \sum \infty u_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots$

部分和： $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k}$ 。级数的和 $= lim S_{n}$ 。

概念	定义
收敛	$lim S_{n} = S$ （有限数）， $S$ 为和
发散	${S_{n}}$ 无有限极限
余项	$r_{n} = S - S_{n} = \sum_{k = n + 1}^{\infty} u_{k}$

🎯 级数问题 = 部分和数列极限问题。 比如数列 $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ，构造级数：首项 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $n \geq 2$ 时 $u_{n} = a_{n} - a_{n - 1} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ ，则 $\sum u_{n}$ 的部分和正好 $= a_{n}$ 。级数和数列本质上是一个东西的两种写法。

两个必须熟记的级数

级数	条件	结论	和
等比级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a q^{n}$	$∥ q ∥ < 1$	✅ 收敛	$\frac{a}{1 - q}$
	$∥ q ∥ \geq 1$	❌ 发散	—
调和级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$	—	❌ 发散	—

⚠️ 调和级数：通项→0但级数发散——“收敛的必要条件是通项→0”的最重要反例。

拆项相消法（定义法核心技巧）

裂项让中间项正负相消，部分和只剩首尾：

$\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ → $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} \to 1$
练一练： $\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ → $S_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) \to \frac{3}{4}$

四条基本性质

性质	内容
线性	收敛+收敛=收敛；收敛+发散=发散；发散+发散=不一定
有限项	去掉/增加/改变有限项不改变敛散性（和可能变）
加括号	收敛级数加括号仍收敛；括号收敛≠原级数收敛（正项级数例外）
必要条件★	$\sum u_{n}$ 收敛 ⇒ $lim u_{n} = 0$ 。逆否： $lim u_{n} \neq = 0$ ⇒ 发散！

手把手例题

例：求 $n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} + ( - 1 ) ^{n}}{8 ^{n}}$ 的和。

步骤	操作
①拆	$= \sum (1/4)^{n} + \sum (- 1/8)^{n}$ （两个等比级数）
②判	$q_{1} = \frac{1}{4} < 1$ , $q_2=
③和	$= \frac{1/4}{1 - 1/4} + \frac{- 1/8}{1 - ( - 1/8 )} = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

✅ 本节检查：读完后你应该能——

定义级数收敛（部分和数列有有限极限）

判断等比级数敛散并求和

用必要条件（ $lim u_{n} \neq = 0 \Rightarrow$ 发散）快速排除

用拆项相消法求至少一种级数的精确和

解释为什么调和级数发散但通项→0

§11.2 常数项级数的审敛法

🏔️ 直觉：知道”什么是收敛” ≠ 能判断一个级数是否收敛。审敛法 = 在不同条件下比较”谁更接近收敛/发散”。

§11.2.1 正项级数审敛法

基本定理

正项级数（ $u_{n} \geq 0$ ）收敛 ⇔ 部分和数列有界（单调递增+有界=收敛）。

用法：很少直接用——更像”理论地基”。实际操作中我们用下面更趁手的工具。

A. 不需要 $ρ$ 的方法（比较法 & 积分法）

比较审敛法

形式	条件	结论
特殊形式	$u_{n} \leq v_{n}$ （对所有 $n$ ）	大收敛→小收敛；小发散→大发散
极限形式★	$lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = l$	见下表

极限形式的三种结果：

$l$	结论	口诀
$0 < l < \infty$	$\sum u_{n}$ 与 $\sum v_{n}$ 同敛散	”非零有限一起走”
$l = 0$ 且 $\sum v_{n}$ 收敛	$\sum u_{n}$ 收敛	” $u_{n}$ 比参照更小→更收敛”
$l = \infty$ 且 $\sum v_{n}$ 发散	$\sum u_{n}$ 发散	” $u_{n}$ 比参照更大→更发散”

🎯 选题策略：先看 $u_{n}$ 的无穷小阶数。 $u_{n} \sim \frac{C}{n ^{p}}$ ： $p > 1$ 收敛， $p \leq 1$ 发散。

积分审敛法

定理： $f (x)$ 在 $[1, \infty)$ 上非负、单调递减、连续，则 $\sum f (n)$ 与 $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ 同敛散。

🎯 口诀：级数积分一家亲，单调递减同敛散。

经典应用：

$f (x)$	级数	积分	结论
$\frac{1}{x ^{p}}$	$\sum \frac{1}{n ^{p}}$	$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{p}}$	$p > 1$ 收敛， $p \leq 1$ 发散
$\frac{1}{x l n ^{β} x}$	$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n l n ^{β} n}$	$\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x l n ^{β} x}$	$β > 1$ 收敛， $β \leq 1$ 发散

推广结论（考研必备，证明来自积分法）：

级数	收敛	发散
$\sum 1/ (n^{α} ln^{β} n)$	$α > 1$ ；或 $α = 1$ 且 $β > 1$	其余

B. 需要 $ρ$ 的方法（比值法 & 根值法）

这两种方法的判定规则完全一致——设 $ρ =$ 对应的极限：

$ρ$	结论
$ρ < 1$	绝对收敛（正项时即收敛）
$ρ > 1$ 或 $ρ = \infty$	发散（且 $lim u_{n} \neq = 0$ ）
$ρ = 1$	⚠️ 失效（如 $p$ -级数， $ρ$ 恒为 1，但敛散视 $p$ 而定）

方法	$ρ$ 的定义	适用场景	口诀
比值法（达朗贝尔）	$ρ = n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$	含 $n!$ 、 $a^{n}$	“阶乘指数找比值”
根值法（柯西）	$ρ = n \to \infty lim n ∥ u_{n} ∥$	含 $[f (n)]^{n}$	“整体n次方找根值”

💡 比值法有极限 ⇒ 根值法也有（同值）。但根值法更广——比值法振荡时根值法可能仍可用。

标准参照级数（比较法的”标尺”）

级数	收敛	发散
$\sum 1/ n^{p}$ （ $p$ -级数）	$p > 1$	$p \leq 1$
$\sum a q^{n}$ （几何级数）	$∥ q ∥ < 1$	$∥ q ∥ \geq 1$

手把手例题

例1（比较法）：判别 $\sum sin \frac{1}{n}$ 。

步骤	操作
① 分析通项	$sin \frac{1}{n} > 0$ ，正项级数
② 等价无穷小	$n \to \infty$ 时 $sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$
③ 参照	$\sum \frac{1}{n}$ 是调和级数 → 发散
④ 极限形式	$lim \frac{s i n ( 1/ n )}{1/ n} = 1 \in (0, \infty)$ → 同敛散
⑤ 结论	❌ 发散

例2（比值法）：判别 $n = 1 \sum \infty \frac{3 ^{n}}{n !}$ 。

步骤	操作
① 写通项	$u_{n} = \frac{3 ^{n}}{n !}$
② 算后前比	$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{3 ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \cdot \frac{n !}{3 ^{n}}$
③ 约 $n!$	$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$ ，约分得 $\frac{3}{n + 1}$
④ 取极限	$ρ = lim_{n \to \infty} \frac{3}{n + 1} = 0$
⑤ 判定	$ρ = 0 < 1$ → ✅ 绝对收敛

💡 为什么约分得 $\frac{3}{n + 1}$ ？因为 $\frac{3 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = 3$ ， $\frac{n !}{( n + 1 )!} = \frac{1}{n + 1}$ 。

§11.2.2 交错级数 — 莱布尼茨审敛法

形如 $\sum (- 1)^{n - 1} u_{n}$ （ $u_{n} > 0$ ），若同时满足：

$u_{n + 1} \leq u_{n}$ （单调递减）
$lim u_{n} = 0$ （趋于零）

则级数收敛，且和 $S \leq u_{1}$ ，余项 $∣ r_{n} ∣ \leq u_{n + 1}$ 。

🎯 口诀：单调递减趋于零，莱布尼茨就判定。

⚠️ 仅 $lim u_{n} = 0$ 而不单调递减 → 不一定收敛！

例3（莱布尼茨）： $\sum (- 1)^{n} \frac{1}{l n n}$ 。 $1/ ln n$ 单调递减且→0 → ✅ 收敛。绝对值 $\sum 1/ ln n > \sum 1/ n$ 发散 → 条件收敛。

§11.2.3 任意项级数 — 绝对收敛与条件收敛

定义	条件
绝对收敛	$\sum ∥ u_{n} ∥$ 收敛 ⇒ $\sum u_{n}$ 必收敛
条件收敛	$\sum ∥ u_{n} ∥$ 发散，但 $\sum u_{n}$ 收敛

🎯 实战套路：任意项级数 → 先取绝对值 $\sum ∥ u_{n} ∥$ → 用正项审敛法判断 → 若收敛则绝对收敛，一步到位！

运算	结论
绝对收敛 + 绝对收敛	绝对收敛
绝对收敛 + 条件收敛	条件收敛
绝对收敛 → 可任意重排，和不变	条件收敛不能随意重排（项的次序变了和就可能变——无穷和与有限加法的根本区别。考试不考重排，知道”绝对收敛随便排”就够了）

✅ 本节检查：读完后你应该能——

用比较法（极限形式）判断级数敛散：找到参照 $p$ -级数

用比值法和根值法判断：算出 $ρ$ ，对照 $ρ < 1$ / $ρ > 1$ / $ρ = 1$

说出 $ρ = 1$ 时为什么失效（ $p$ -级数对所有 $p$ 都有 $ρ = 1$ ，但敛散不同）

用莱布尼茨法判断交错级数：验证单调递减 + 趋于零

区分绝对收敛和条件收敛：先取绝对值判断 |

§11.3.1 幂级数—收敛域

从函数项级数到幂级数

函数项级数： $\sum u_{n} (x)$ ，以 $x$ 为参数的数项级数。

幂级数标准形式： $n = 0 \sum \infty a_{n} (x - x_{0})^{n}$

收敛点全体 → 收敛域；发散点全体 → 发散域
在收敛域上定义和函数： $S (x) = \sum a_{n} x^{n}$

Abel 定理

若 $\sum a_{n} x^{n}$ 在 $x = x_{0} \neq = 0$ 处收敛，则对 $∣ x ∣ < ∣ x_{0} ∣$ 绝对收敛；在 $x_{0}$ 发散，则对 $∣ x ∣ > ∣ x_{0} ∣$ 发散。存在收敛半径 $R$ ：

 发散 ←——|—————— 绝对收敛 ——————|——→ 发散
        -R        0         R

$R$	收敛域
$R = 0$	仅 $x = 0$
$R = + \infty$	$(- \infty, \infty)$
有限正 $R$	$(- R, R)$ + 收敛的端点

收敛半径求法

方法	公式	适用
比值法	$ρ = lim ∥ a_{n + 1} / a_{n} ∥$ ， $R = 1/ ρ$	系数无零
根值法	$ρ = lim n ∥ a_{n} ∥$ ， $R = 1/ ρ$	根值更广
缺项直接法★	直接令 $lim ∥ u_{n + 1} (x) / u_{n} (x) ∥ < 1$ 解 $x$	缺奇/偶次幂项

求收敛域三步

求收敛半径 $R$ → 收敛区间 $(x_{0} - R, x_{0} + R)$
分别验证端点（代入为数项级数，用§11.2审敛法判断）
写出收敛域 = 区间 + 收敛的端点

手把手例题

例：求 $n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}$ 的收敛域。

步骤	操作
①求 $R$	$ρ = lim \frac{1/ ( n + 1 )}{1/ n} = 1$ → $R = 1$
②端点	$x = 1$ ： $\sum 1/ n$ 发散； $x = - 1$ ： $\sum (- 1)^{n} / n$ 条件收敛
③域	$[- 1, 1)$

✅ 本节检查：读完后你应该能——

解释 Abel 定理：为什么收敛域是对称区间

用比值/根值法求收敛半径 $R$

处理缺项幂级数（直接法）

验证端点并写出完整的收敛域

§11.3.2 幂级数—和函数

核心定理：逐项求导与逐项积分 ⭐

设 $\sum a_{n} x^{n}$ 收敛半径 $R$ ，和函数 $S (x)$ 。在 $(- R, R)$ 内：

操作	公式	收敛半径
逐项求导	$S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$	不变
逐项积分	$\int_{0}^{x} S (t) d t = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$	不变

⚠️ 端点变化：求导可能使收敛端点变发散（“变差”）；积分可能使发散端点变收敛（“变好”）。

四则运算

运算	收敛半径
加减	$R_{1} \neq = R_{2}$ ： $R = min (R_{1}, R_{2})$ ； $R_{1} = R_{2}$ ：可能更大（系数相消）
柯西乘积	$c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ ， $R \geq min (R_{1}, R_{2})$

求和函数四种方法

方法	策略	典型场景	操作前	操作后（核心）
已知展开式	直接匹配	恰好匹配	—	—
逐项求导★	求导把 $n$ 提到系数 → 化成已知级数 → 积分回去	$\sum n x^{n}$	需消掉系数中的 $n$ ，求导让它进指数
逐项积分★	积分把系数中的 $n$ 塞进分母 → 化成已知级数 → 求导回去	$\sum n (n + 1) x^{n}$	需消掉系数中的多余 $n$ ，积分消系数
微分方程	建 $S (x)$ 的 ODE → 求解	含阶乘的复杂级数	—	—

💡 为什么求导/积分能帮忙？ 举个具体例子：

$\sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n}$ —— 系数有个多余的 $n$ ，太碍眼。

如果先积分一次： $\int n x^{n} d x = \frac{n}{n + 1} x^{n + 1}$ ， $n$ 没消干净。

反过来，先对 $\sum x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ 求导： $\sum n x^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ ， $n$ 提到指数上！

🎯 规律：系数有 $n$ → 从几何级数求导；分母有 $n$ → 从几何级数积分。

常见和函数速查

#	级数	和函数	收敛域
1	$\sum x^{n}$	$\frac{1}{1 - x}$	$(- 1, 1)$
2	$\sum n x^{n - 1}$	$\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$	$(- 1, 1)$
3	$\sum \frac{x ^{n}}{n}$	$- ln (1 - x)$	$[- 1, 1)$
4	$\sum (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n}$	$ln (1 + x)$	$(- 1, 1]$
5	$\sum (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$	$arctan x$	$[- 1, 1]$
6	$\sum \frac{x ^{n}}{n !}$	$e^{x}$	$(- \infty, \infty)$

手把手例题

例：求 $n = 1 \sum \infty n x^{n}$ 的和函数。

步骤	操作
①已知	$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ （ $∥ x ∥ < 1$ ）
②求导	$\sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$
③乘 $x$	$\sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ ， $∥ x ∥ < 1$

🧪 快速验证：取 $x = 0.5$ ，代入级数前几项 $0.5 + 2 \cdot 0.25 + 3 \cdot 0.125 + \dots = 2$ ；和函数 $\frac{0.5}{( 1 - 0.5 ) ^{2}} = \frac{0.5}{0.25} = 2$ ✅

✅ 本节检查：读完后你应该能——

用逐项求导法求和（系数有 $n$ → 从 $\sum x^{n}$ 求导 → 乘 $x$ → 得结果）

用逐项积分法求和（分母有 $n$ → 从 $\sum x^{n - 1}$ 积分 → 得结果）

套用常见和函数速查表（6条）

两个幂级数做四则运算时判断收敛半径变化

§11.3.4 泰勒级数

问题的提出

幂级数 → 和函数（正向）。反向：给定 $f (x)$ ，能否在 $x_{0}$ 附近展开为幂级数？

必要条件： $f (x)$ 在 $x_{0}$ 邻域内任意阶可导。

从泰勒公式到泰勒级数

泰勒公式（有限项，来自上册）：

$f (x) = P_{n} (x) — 泰勒多项式 k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} + R_{n} (x) — 拉格朗日余项 \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}$

📌 泰勒公式是有限项 + 余项—— $P_{n} (x)$ 是对 $f (x)$ 的 $n$ 次多项式近似， $R_{n} (x)$ 是误差。

泰勒级数（无穷项——本章新内容）：

$f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}$

核心： $f (x) = 泰勒级数 ⟺ lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0$ 。级数写出来 ≠ 自动等于原函数！

⚠️ 经典反例： $f (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ （ $x \neq = 0$ ）， $f (0) = 0$ 。可以验证 $f^{(n)} (0) = 0$ ，泰勒级数为 $0$ ，但 $f (x) \neq = 0$ （ $x \neq = 0$ ）——余项不→0。

麦克劳林级数： $x_{0} = 0$ 的特例。

★ 必须熟记的麦克劳林展开式

#	函数	展开式（前几项）	收敛域
1	$e^{x}$	$1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots$	$(- \infty, \infty)$
2	$sin x$	$x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$	$(- \infty, \infty)$
3	$cos x$	$1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots$	$(- \infty, \infty)$
4	$\frac{1}{1 - x}$	$1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$	$(- 1, 1)$
5	$\frac{1}{1 + x}$	$1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots$	$(- 1, 1)$
6	$ln (1 + x)$	$x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots$	$(- 1, 1]$
7	$(1 + x)^{α}$	$1 + αx + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots$	$(- 1, 1)$
8	$arctan x$	$x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots$	$[- 1, 1]$

🎯 奇偶性：奇函数只有奇次项（ $sin x$ , $arctan x$ ）；偶函数只有偶次项（ $cos x$ , $e^{x^{2}}$ ）。

展开方法

方法	步骤	适用
直接法	求 $f^{(n)} (0)$ → 写系数 → 验证余项→0	导数易求
间接法★	利用已知展开式 + 换元/求导/积分/四则运算	最常用

例： $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ 展开：已知 $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ ，逐项求导 → $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = \sum (n + 1) x^{n}$ ， $∣ x ∣ < 1$ 。

✅ 本节检查：读完后你应该能——

背出 $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ , $\frac{1}{1 - x}$ , $ln (1 + x)$ , $arctan x$ 的麦克劳林展开式及收敛域

用直接法展开简单函数（如 $e^{2 x}$ ）

用间接法展开函数（换元/求导/积分/拆分）

解释泰勒级数与泰勒公式的区别：有限项 vs 无穷项，都有余项，但泰勒级数要求余项→0

📇 综合闪卡速记（30条）

常数项级数基础 (§11.1)

| Q1 | 级数收敛怎么判定？ | 部分和数列 ${S_{n}}$ 有有限极限 | | Q2 | 等比级数何时收敛？和是多少？ | $∥ q ∥ < 1$ 收敛，和 $\frac{a}{1 - q}$ ； $∥ q ∥ \geq 1$ 发散 | | Q3 | 调和级数 $\sum 1/ n$ 收敛吗？ | ❌ 发散——通项→0但级数发散的重要反例 | | Q4 | 收敛的必要条件怎么用？ | $\sum u_{n}$ 收敛 ⇒ $lim u_{n} = 0$ 。逆否： $lim u_{n} \neq = 0$ ⇒ 发散 | | Q5 | 拆项相消怎么做？ | 把 $u_{n}$ 裂成 $a_{n} - a_{n + 1}$ ，部分和只剩 $a_{1} - a_{n + 1}$ |

审敛法 (§11.2)

| Q6 | 比较审敛法极限形式三种结果？ | $0 < l < \infty$ →同敛散； $l = 0$ 跟收敛； $l = \infty$ 跟发散 | | Q7 | 比值法 $ρ < 1$ / $ρ > 1$ / $ρ = 1$ ？ | $< 1$ 绝对收； $> 1$ 发散； $= 1$ 失效（如 $p$ -级数） | | Q8 | 根值法和比值法谁更广？ | 根值法更广（比值有极限则根值也有，反之不然） | | Q9 | $p$ -级数 $\sum 1/ n^{p}$ 结论？ | $p > 1$ 收敛， $p \leq 1$ 发散（ $p = 1$ 为调和级数） | | Q10 | 莱布尼茨审敛法两个条件？ | ①单调递减 ②趋于零。缺一不可！ | | Q11 | 如何区分绝对收敛和条件收敛？ | 先看 $\sum ∥ u_{n} ∥$ ：收敛→绝对；发散但 $\sum u_{n}$ 收→条件 | | Q12 | 绝对收敛有什么好处？ | 可任意重排和不变；正项审敛法全可用 |

幂级数 (§11.3.1–2)

| Q13 | Abel 定理的核心结论？ | 存在收敛半径 $R$ ， $(- R, R)$ 内绝对收敛，外部发散 | | Q14 | 收敛半径三种求法？ | 比值法 $lim ∥ a_{n + 1} / a_{n} ∥$ ；根值法 $lim n ∥ a_{n} ∥$ ；缺项直接 $lim ∥ u_{n + 1} / u_{n} ∥ < 1$ | | Q15 | 求完整收敛域三步？ | ①求 $R$ 得区间 ②分别验证端点 ③写出收敛域 | | Q16 | 逐项求导/积分后收敛半径？ | 不变。端点”求导变差，积分变好” | | Q17 | $\sum n x^{n}$ 怎么求和？ | 从 $\sum x^{n} = 1/ (1 - x)$ 求导 → 乘 $x$ → $x / (1 - x)^{2}$ | | Q18 | $\sum x^{n} / n$ 怎么求和？ | 从 $\sum x^{n - 1} = 1/ (1 - x)$ 积分 → $- ln (1 - x)$ |

泰勒级数 (§11.3.4)

| Q19 | $e^{x}$ 展开式？收敛域？ | $\sum x^{n} / n!$ ， $(- \infty, \infty)$ | | Q20 | $sin x$ , $cos x$ 展开式？ | $sin x = \sum (- 1)^{n} x^{2 n + 1} / (2 n + 1)!$ ； $cos x = \sum (- 1)^{n} x^{2 n} / (2 n)!$ ；均 $(- \infty, \infty)$ | | Q21 | $ln (1 + x)$ 展开式？收敛域？ | $\sum (- 1)^{n - 1} x^{n} / n$ ， $(- 1, 1]$ | | Q22 | $arctan x$ 展开式？收敛域？ | $\sum (- 1)^{n} x^{2 n + 1} / (2 n + 1)$ ， $[- 1, 1]$ | | Q23 | 直接展开 vs 间接展开？ | 直接法：求导→写系数→验证余项；间接法★：利用已知展开式+换元/求导/积分 | | Q24 | 泰勒级数写出来就等原函数？ | ❌ 需验证 $lim R_{n} (x) = 0$ 。如 $e^{- 1/ x^{2}}$ 在0展开全零但不等于0 |

🧪 综合自测题

A 组 — 概念判断 (20 题)

#	题目	答案
A1	级数收敛 ⇔ 部分和数列有极限。	✅
A2	$\sum q^{n}$ 对任意 $q$ 都收敛。	❌（仅 $∥ q ∥ < 1$ ）
A3	若 $lim u_{n} = 0$ ，则 $\sum u_{n}$ 收敛。	❌（调和级数反例）
A4	若 $lim u_{n} \neq = 0$ ，则 $\sum u_{n}$ 发散。	✅
A5	收敛+收敛=收敛。	✅
A6	发散+发散=发散。	❌（ $1 + (- 1) = 0$ 收敛）
A7	正项级数收敛 ⇔ 部分和有界。	✅
A8	$p$ -级数 $\sum 1/ n^{p}$ ， $p = 2$ 时收敛。	✅
A9	比值法 $ρ = 1$ 时级数发散。	❌（失效）
A10	莱布尼茨审敛法只需 $lim u_{n} = 0$ 。	❌（还需单调递减）
A11	绝对收敛 ⇒ 收敛。	✅
A12	条件收敛的绝对值级数一定发散。	✅
A13	幂级数收敛域是对称区间。	✅
A14	缺项幂级数可用系数比值法。	❌（用直接法）
A15	逐项求导后收敛半径不变。	✅
A16	逐项求导后端点的收敛性可能变。	✅
A17	$e^{x} = \sum x^{n} / n!$ 对所有实数成立。	✅
A18	$ln (1 + x)$ 的展开在 $x = 1$ 处收敛。	✅（ $(- 1, 1]$ 含1）
A19	泰勒级数写出即等于原函数。	❌（需验证余项→0）
A20	幂级数在收敛区间内可逐项求导任意次。	✅

B 组 — 基本计算 (20 题)

B1 判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 ^{n}}$ 敛散性，若收敛求和。

B2 判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n + 1}$ 的敛散性。

B3 用拆项法求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ 的和。

B4 用比较法判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} + 1}$ 的敛散性。

B5 用比值法判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 ^{n}}{n !}$ 的敛散性。

B6 用根值法判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{n}{2 n + 1})^{n}$ 的敛散性。

B7 用莱布尼茨法判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n}$ 的敛散性及收敛类型。

B8 判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c o s n}{n ^{2}}$ 的敛散性。

B9 求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ 的收敛域。

B10 求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n \cdot 2 ^{n}}$ 的收敛域。

B11 求 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} x^{2 n}$ 的收敛半径。

B12 已知 $\sum a_{n} x^{n}$ 在 $x = 2$ 处条件收敛，求收敛半径 $R$ 。

B13 求 $\sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n}$ 的和函数。

B14 求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n + 1}$ 的和函数。

B15 求 $\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n}$ 的和函数。

B16 写出 $e^{- x}$ 的麦克劳林展开式。

B17 写出 $ln (1 - x)$ 的麦克劳林展开式及收敛域。

B18 将 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 展开为麦克劳林级数。

B19 将 $\frac{1}{( 1 - x ) ^{3}}$ 展开为麦克劳林级数。

B20 将 $ln (2 + x)$ 展开为 $x$ 的幂级数。

C 组 — 综合应用 (10 题)

C1 ⭐⭐ 讨论 $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n l n n}$ 的敛散性。（提示：积分法）

C2 ⭐⭐ 判断 $\sum ln (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n})$ 的敛散性。（提示：泰勒展开到二阶）

C3 ⭐⭐ 判断 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + ( - 1 ) ^{n}}$ 的敛散性。满足莱布尼茨条件吗？

C4 ⭐⭐ 求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$ 的和。（提示：从 $\sum x^{n}$ 出发两次求导）

C5 ⭐⭐ 求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ( 2 n - 1 )}$ 的和。（提示：拆项+已知展开式）

C6 ⭐⭐ 将 $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2}$ 展开为 $x$ 的幂级数并求收敛域。（提示：有理分式先拆部分分式）

C7 ⭐⭐⭐ 用间接法将 $arctan x$ 展开为麦克劳林级数并求收敛域。

C8 ⭐⭐⭐ 用幂级数求 $\int_{0}^{1} \frac{s i n x}{x} d x$ 的近似值（精确到 $1 0^{- 4}$ ）。

C9 ⭐⭐⭐ 若 $\sum a_{n} x^{n}$ 收敛半径为 $R$ ，证明 $\sum a_{n}^{2} x^{n}$ 的收敛半径至少为 $R^{2}$ 。

C10 ⭐⭐⭐ 讨论 $f (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ （ $x \neq = 0$ ）， $f (0) = 0$ 在 $x = 0$ 处的泰勒级数及其与 $f (x)$ 的关系。

⚠️ 常见错误 Top 10

#	错误	正确
1	$lim u_{n} = 0$ ⇒ 级数收敛	❌ 仅为必要非充分。调和级数是反例
2	比值法 $ρ = 1$ 时判定发散	❌ $ρ = 1$ 失效，须换比较法/积分法
3	比较法：大的发散 ⇒ 小的发散	❌ 方向反了！正确：大收敛→小收敛，小发散→大发散
4	发散+发散=发散	❌ 不一定。 $1 + (- 1) = 0$
5	交错级数只需 $lim u_{n} = 0$	❌ 还须单调递减
6	缺项幂级数套系数比值	❌ 分母系数可能为0，用直接法
7	求收敛域只求半径不验证端点	❌ 端点必须单独代入判断
8	逐项求导/积分后收敛域不变	❌ 端点可能变（求导变差，积分变好）
9	泰勒级数写出=原函数	❌ 须验证 $lim R_{n} (x) = 0$
10	任意项级数直接用正项比较法	❌ 须先取绝对值判断绝对收敛

📋 B 组答案速查

#	答案
B1	收敛，和为 $1$
B2	$lim u_{n} = \frac{1}{2} \neq = 0$ → 发散
B3	$\frac{1}{2}$ （拆 $= \frac{1}{2} [\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}]$ ）
B4	$\frac{1}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n ^{2}}$ ， $\sum 1/ n^{2}$ 收敛 → 收敛
B5	$ρ = lim \frac{2}{n + 1} = 0 < 1$ → 收敛
B6	$ρ = lim \frac{n}{2 n + 1} = \frac{1}{2} < 1$ → 收敛
B7	单调递减且→0 → 收敛。绝对值 $\sum 1/ n$ （ $p = \frac{1}{2}$ ）发散 → 条件收敛
B8	$∥ cos n / n^{2} ∥ \leq 1/ n^{2}$ ， $\sum 1/ n^{2}$ 收敛 → 绝对收敛
B9	$R = 1$ ， $x = 1$ 散， $x = - 1$ 收 → $[- 1, 1)$
B10	$R = 2$ ， $x = 3$ 散， $x = - 1$ 收 → $[- 1, 3)$
B11	$R = \frac{1}{2}$ （缺项直接法）
B12	$R = 2$ （条件收敛点 $
B13	$\frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ ，$
B14	$\frac{- l n ( 1 - x ) - x}{x}$ （ $x \neq = 0$ ），端点 $[- 1, 1)$
B15	$\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ ，$
B16	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{n}}{n !}$ ， $(- \infty, \infty)$
B17	$- \sum \frac{x ^{n}}{n}$ ， $[- 1, 1)$
B18	$\sum (- 1)^{n} x^{2 n}$ ，$
B19	$\sum \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} x^{n}$ ，$
B20	$ln 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n \cdot 2 ^{n}} x^{n}$ ， $- 2 < x \leq 2$

💡 C 组提示

#	提示
C1	$\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x l n x} = [ln ln x]_{2}^{\infty}$ 发散 → 原级数发散
C2	$ln (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} - \frac{1}{2 n} + o (\frac{1}{n})$ 。交错部分收敛，调和部分发散 → 发散
C3	$u_{n}$ 非单调递减（有振荡），不满足莱布尼茨条件。通项不趋于0也需检查
C4	从 $\sum x^{n} = 1/ (1 - x)$ 出发：乘 $x$ →求导→再乘 $x$ →再求导→代入 $x = 1/2$ → $6$
C5	拆 $\frac{1}{n ( 2 n - 1 )} = \frac{2}{2 n - 1} - \frac{1}{n}$ ，分别求和 → $2 ln 2 - 1$
C6	拆 $\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$ ，分别展为 $\sum (- 1)^{n} x^{n}$ 和 $\frac{1}{2} \sum (- 1)^{n} (x /2)^{n}$ → $R = 1$ ，域 $(- 1, 1)$
C7	$arctan^{'} x = \frac{1}{1 + x ^{2}} = \sum (- 1)^{n} x^{2 n}$ → 逐项积分 → $\sum (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$ ， $[- 1, 1]$
C8	$sin x / x = \sum (- 1)^{n} x^{2 n} / (2 n + 1)!$ → 逐项积分，取前4项 → $\approx 0.9461$
C9	由 $lim n ∥ a_{n} ∥ = 1/ R$ ，则 $lim n ∥ a_{n}^{2} ∥ = 1/ R^{2}$ ，故 $R_{新} \geq R^{2}$
C10	$f^{(n)} (0) = 0$ 对所有 $n$ 成立，泰勒级数为 $0$ ，但 $f (x) \neq = 0$ （ $x \neq = 0$ ）——泰勒级数写出来不等于原函数的经典反例

第十一章 无穷级数（完整版）

第十一章 无穷级数

📖 建议阅读顺序

§11.1 常数项级数的概念与性质

基本定义

两个必须熟记的级数

拆项相消法（定义法核心技巧）

四条基本性质

手把手例题

§11.2 常数项级数的审敛法

§11.2.1 正项级数审敛法

基本定理

A. 不需要 ρ 的方法（比较法 & 积分法）

比较审敛法

积分审敛法

B. 需要 ρ 的方法（比值法 & 根值法）

标准参照级数（比较法的”标尺”）

手把手例题

§11.2.2 交错级数 — 莱布尼茨审敛法

§11.2.3 任意项级数 — 绝对收敛与条件收敛

§11.3.1 幂级数—收敛域

从函数项级数到幂级数

Abel 定理

收敛半径求法

求收敛域三步

手把手例题

§11.3.2 幂级数—和函数

核心定理：逐项求导与逐项积分 ⭐

四则运算

求和函数四种方法

常见和函数速查

手把手例题

§11.3.4 泰勒级数

问题的提出

从泰勒公式到泰勒级数

★ 必须熟记的麦克劳林展开式

展开方法

📇 综合闪卡速记（30条）

常数项级数基础 (§11.1)

审敛法 (§11.2)

幂级数 (§11.3.1–2)

泰勒级数 (§11.3.4)

🧪 综合自测题

A 组 — 概念判断 (20 题)

B 组 — 基本计算 (20 题)

C 组 — 综合应用 (10 题)

⚠️ 常见错误 Top 10

📋 B 组答案速查

💡 C 组提示

发现需要修正的地方？

第十一章无穷级数（完整版）

第十一章无穷级数

A. 不需要 $ρ$ 的方法（比较法 & 积分法）

B. 需要 $ρ$ 的方法（比值法 & 根值法）