第九章重积分及其应用

🏔️ 直觉地图

从一维到三维：微元思想的逐级跃迁

定积分二重积分三重积分
区域 $[a, b]$ 平面 $D$ 空间 $Ω$
微元 $d x$ $d σ = d x d y$ $d v = d x d y d z$
直觉切线段称重切面条称重切面包丁称重
计算 N-L 公式化为二次积分投影法/截面法

	定积分	二重积分	三重积分
区域	$[a, b]$	平面 $D$	空间 $Ω$
微元	$d x$	$d σ = d x d y$	$d v = d x d y d z$
直觉	切线段称重	切面条称重	切面包丁称重
计算	N-L 公式	化为二次积分	投影法/截面法

🎯 三重积分的第一直觉：不要把 $f (x, y, z)$ 理解为”四维超体”，而理解为密度—— $∭_{Ω} ρ d v$ 就是称整个面包的质量。

🧭 方法选择决策树

二重积分
├─ 含 x²+y² 或区域为圆/扇形/圆环？ → 极坐标 ★
├─ 矩形 + 被积可分离(f₁f₂)？ → 拆乘积
├─ 内层积不出来(e^{-y²}, sin y/y)？ → 交换次序
├─ X型内层限很复杂？ → 试试Y型
└─ 没线索 → 直角坐标X型

三重积分
├─ 区域是球体/半球/球+锥？ → 球面坐标 ★
├─ f仅与z有关 + 截面是圆/椭圆？ → 截面法(最省力)
└─ 一般空间区域 → 投影法(最通用)

一、知识整合

§9.1 二重积分的概念与性质

从定积分到二重积分

定积分四步法（分割→近似→求和→取极限）推广到二元：

\iint_{D} f (x, y) d σ = λ \to 0 lim k = 1 \sum n f (ξ_{k}, η_{k}) Δ σ_{k}

⚠️ 双重任意性：分法任意 + 取点任意 → 极限唯一 ⇔ 可积

术语： $f (x, y)$ — 被积函数 | $d σ$ — 面积微元 | $D$ — 积分域 | $λ$ — 小区域直径（非面积！）的最大值

💡 为什么用直径而非面积？ 一个小区域可以很窄很长（面积大但直径小），用直径趋于零才能保证区域”全方位”收缩——极限值与分法无关。

可积性条件： $f (x, y)$ 在 $D$ 上连续（或分片连续）⇒ 可积

直角坐标系： $d σ = d x d y$

几何意义：曲顶柱体体积 | 物理意义：平面薄片质量 | 面积： $\iint_{D} 1 d σ = σ$

二重积分的7条性质

性质	公式	要点
线性性	$\iint (c_{1} f + c_{2} g) = c_{1} \iint f + c_{2} \iint g$
区域可加性	$D = D_{1} \cup D_{2}$ ⇒ 积分相加	不重叠
面积性质	$\iint_{D} k d σ = kσ$	常逆用求面积
单调性	$f \geq g$ ⇒ $\iint f \geq \iint g$	+4条推论
绝对值	$∣ \iint f ∣ \leq \iint ∣ f ∣$
估值不等式	$mσ \leq \iint f \leq M σ$	$m, M$ 为最值
中值定理	$\iint_{D} f = f (ξ, η) \cdot σ$	$f$ 连续⇒存在

🎯 对称性质（考试重点）

如何验证 $D$ 关于某直线对称？ 将 $D$ 的边界方程代入对称变换，看方程是否不变。

关于 $x$ 轴对称 → 看 $y$ 奇偶（奇零偶倍）：

\iint_{D} f = {0, 2 \iint_{D_{1}} f, f (x, - y) = - f (x, y) f (x, - y) = f (x, y)

关于 $y$ 轴对称 → 看 $x$ 奇偶（同理）。

关于 $y = x$ 对称（轮换）：

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D} f (y, x) d x d y

常用： $\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) = 2 \iint_{D} x^{2}$ ； $\iint_{D} (x^{3} - y^{3}) = 0$

⚠️ 判断 $y = x$ 对称：互换 $x \leftrightarrow y$ 后区域表达式不变。

§9.2 二重积分的计算法

§9.2.1 直角坐标计算

X 型区域（先 $y$ 后 $x$ ）

D : a \leq x \leq b, φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x)

\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (x, y) d y

判别法：垂直 $x$ 轴的直线从下向上穿过，从 $φ_{1}$ 穿入、从 $φ_{2}$ 穿出（直角坐标穿线法）。

Y 型区域（先 $x$ 后 $y$ ）

D : c \leq y \leq d, ψ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{2} (y)

\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{c}^{d} d y \int_{ψ_{1} (y)}^{ψ_{2} (y)} f (x, y) d x

四步计算流程

①画图判型 → ②不等式表示（投影法+穿线法）→ ③化二次积分 → ④N-L公式计算

步骤	方法	得到
投影法	区域向积分轴投影	外层限（常数）
穿线法	垂直线穿过区域	内层限（函数）

⚠️ 交换积分次序

当一种次序困难时（如 $\int e^{- y^{2}} d y$ 、 $\int \frac{s i n y}{y} d y$ 无初等原函数）：

由积分限反推原区域 $D$
画出 $D$ ，改写为另一种类型的不等式组
按新次序重写二次积分

矩形区域 + 分离变量

若 $f (x, y) = f_{1} (x) f_{2} (y)$ 且 $D = [a, b] \times [c, d]$ ：

\iint_{D} f_{1} (x) f_{2} (y) d x d y = (\int_{a}^{b} f_{1} d x) (\int_{c}^{d} f_{2} d y)

§9.2.2 极坐标与坐标变换

雅可比行列式是什么？（新手入门）

就像定积分换元 $\int f (x) d x = \int f (g (t)) \cdot g^{'} (t) d t$ ，你多乘了一个 $g^{'} (t)$ 。

二重积分换元同理： $d x d y$ 不等于 $d r d θ$ ！因为半径 $r$ 处，角度 $d θ$ 对应弧长 $r d θ$ 。所以面积微元 = $d r \times (r d θ) = r d r d θ$ 。

那个多出来的 $r$ 就是雅可比行列式的绝对值——换元时面积微元的”拉伸因子”。

换元法定理

若 ${x = x (u, v) y = y (u, v)$ 是一一变换：

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (x (u, v), y (u, v)) \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} d u d v

⚠️ 雅可比行列式取绝对值。

🎯 标准极坐标（极点=原点）

{x = r cos θ y = r sin θ, \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( r , θ )} = r

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ

两步限法：①夹住法定 $θ$ 范围（夹在两条射线间）| ②极坐标穿线法定 $r$ 范围（从极点引射线向外）

⚠️ 注意区分三种穿线法：直角坐标=画垂直线；极坐标=从极点画** $x O y$ 面射线**；球面坐标=从原点画空间射线。

三种常见极坐标区域

类型	$θ$	$r$
被两 $r$ 曲线夹	$α \sim β$	$φ_{1} (θ) \sim φ_{2} (θ)$
原点在边界上	$α \sim β$	$0 \sim φ (θ)$
原点在区域内	$0 \sim 2 π$	$0 \sim φ (θ)$

⚠️ 积分次序：先 $r$ 后 $θ$ 。

平移极坐标（偏心圆）

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} \leq R^{2}$ ： $x = a + r cos θ, y = b + r sin θ$ ，雅可比仍为 $r$ 。

广义极坐标（椭圆）

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \leq 1$ ： $x = a r cos θ, y = b r sin θ$ ， $∣ J ∣ = ab r$ 。

Wallis 公式（何时用？）

极坐标积分中， $r$ 积分后常出现 $\int_{0}^{2 π} sin^{n} θ d θ$ ，Wallis 公式直接给结果：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{( n - 1 )!!}{n !!} \cdot \frac{π}{2}, \frac{( n - 1 )!!}{n !!}, n 为偶数 n 为奇数

直角 ↔ 极坐标速查

直角	极坐标
$x^{2} + y^{2} \leq R^{2}$	$0 \leq θ \leq 2 π$ , $0 \leq r \leq R$
$x^{2} + y^{2} \leq 1$ 第一象限	$0 \leq θ \leq π /2$ , $0 \leq r \leq 1$
$1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$	$0 \leq θ \leq 2 π$ , $1 \leq r \leq 2$
$(x - 1)^{2} + y^{2} \leq 1$	$r \leq 2 cos θ$ , $∣ θ ∣ \leq π /2$

§9.3 三重积分及其计算

§9.3.1 概念与直角坐标计算

三重积分定义

∭_{Ω} f (x, y, z) d v = λ \to 0 lim k = 1 \sum n f (ξ_{k}, η_{k}, ζ_{k}) Δ v_{k}

首选物理意义：空间物体质量 $M = ∭_{Ω} ρ d v$ （切面包丁称重）
$d v = d x d y d z$ （直角坐标） | 性质与二重积分类似

🎯 三重对称性质

$x O y$ 面对称（看 $z$ 奇偶）：奇零偶倍

球域 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$ 轮换对称：

∭_{Ω} x^{2} d v = ∭_{Ω} y^{2} d v = ∭_{Ω} z^{2} d v = \frac{1}{3} ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v

四面体 $x, y, z \geq 0, x + y + z \leq 1$ 轮换对称：

∭_{Ω} x d v = ∭_{Ω} y d v = ∭_{Ω} z d v

长方体 + 分离变量：

∭_{[a, b] \times [c, d] \times [e, f]} f_{1} f_{2} f_{3} d v = (\int_{a}^{b} f_{1}) (\int_{c}^{d} f_{2}) (\int_{e}^{f} f_{3})

📐 投影法（先一后二）— 最通用

名字含义：先做一层（ $z$ 方向）一重积分 → 后做外层二重积分。

Ω : {z_{1} (x, y) \leq z \leq z_{2} (x, y) (x, y) \in D_{x y}

∭_{Ω} f d v = \iint_{D_{x y}} [\int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f d z] d x d y

如何确定 $D_{x y}$ ？联立两曲面方程消去 $z$ → 投影柱面 → 令 $z = 0$ 得区域。

🔪 截面法（先二后一）— 特定条件最省力

名字含义：先做水平切片上的二重积分 → 后沿 $z$ 轴做一重积分。

为什么需要” $f$ 仅与 $z$ 有关”？ 因为在固定 $z$ 的截面上， $f (z)$ 是常数——可以从二重积分中提出来：

\iint_{D_{z}} f (z) d x d y = f (z) \cdot \iint_{D_{z}} 1 d x d y = f (z) \cdot Area (D_{z})

这样二重积分退化为截面面积，只剩一重积分！

∭_{Ω} f (z) d v = \int_{a}^{b} f (z) \cdot Area (D_{z}) d z

适用： $f$ 仅与 $z$ 有关 + 截面规则（圆/椭圆，面积好求）。

§9.3.2 球面坐标计算

球面坐标定义

变量	范围	含义	等值面
$r$	$0 \leq r < \infty$	到原点的距离	球面
$φ$	$0 \leq φ \leq π$	与 $z$ 轴正向夹角	圆锥面
$θ$	$0 \leq θ \leq 2 π$	$x$ 轴绕 $z$ 轴转角	过 $z$ 轴的半平面

⎩ ⎨ ⎧ x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ z = r cos φ, ∣ J ∣ = r^{2} sin φ

d v = r^{2} sin φ d r d φ d θ

💡 $r^{2} sin φ$ 的直觉： $r^{2}$ 来自径向拉伸面积， $sin φ$ 来自纬度圈缩小（赤道 $φ = π /2$ 时 $sin φ = 1$ 最大，两极 $φ = 0, π$ 时 $sin φ = 0$ 收缩为零）。

三步限法（先 $r$ → $φ$ → $θ$ ）

步骤	方法	确定
① $θ$	投影法	向 $x O y$ 面投影的射线范围
② $φ$	夹住法	夹在半顶角 $φ = A$ 与 $φ = B$ 之间
③ $r$	球面穿线法	从原点引空间射线，穿入/穿出

常见区域球面坐标表示

直角坐标	球面坐标
$x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$	$0 \leq θ \leq 2 π$ , $0 \leq φ \leq π$ , $0 \leq r \leq R$
上半球 $z \geq 0$	$0 \leq φ \leq π /2$
锥面 $z = x^{2} + y^{2}$	$φ = π /4$
球 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2 R z$	$r \leq 2 R cos φ$

重要公式

∭_{x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v = \frac{4}{5} π R^{5}

推导： $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{R} r^{4} d r = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{R ^{5}}{5} = \frac{4}{5} π R^{5}$

由轮换对称性： $∭_{Ω} (a x + b y + cz)^{2} d v = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3} \cdot \frac{4}{5} π R^{5}$

适用边界

✅ 适合	❌ 不适合
球体、半球	两个球相交
球与圆锥相交	球与旋转抛物面相交
$f (x^{2} + y^{2} + z^{2})$	偏心球（可用平移球面坐标）

偏心球

球心 $(a, b, c)$ ： $x = a + r sin φ cos θ$ 等， $∣ J ∣$ 仍为 $r^{2} sin φ$ 。

🎯 手把手例题（教练车模式）

每道例题：从”看到题”到”算出答案”的完整过程，每步标注理由。

例1：直角坐标 — X/Y型选择

题目：计算 $\iint_{D} x y d σ$ ， $D$ 由 $y = 1$ , $x = 2$ , $y = x$ 围成。

①画区域：三条线围成三角形，顶点 $(1, 1)$ 、 $(2, 1)$ 、 $(2, 2)$ 。

②判型：X型 → $x \in [1, 2]$ 时下边界 $y = x$ ，上边界 $y = 1$ ……等等， $y = x$ 在 $y = 1$ 下方？画出图： $x \in [1, 2]$ 时 $y = x \geq 1$ 在 $y = 1$ 上方！X型的内层限是 $y$ 从 $1$ 到 $x$ 。单一X型！

I = \int_{1}^{2} d x \int_{1}^{x} x y d y

③计算内层： $\int_{1}^{x} x y d y = x \cdot [\frac{y ^{2}}{2}]_{1}^{x} = x (\frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{x ^{3} - x}{2}$

④外层： $\int_{1}^{2} \frac{x ^{3} - x}{2} d x = \frac{1}{2} [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (4 - 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9}{8}$

✅ 答案： $\frac{9}{8}$

例2：交换次序 — 积不出来时换路

题目：计算 $\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} e^{- y^{2}} d y$

①反推区域： $0 \leq x \leq 1$ , $x \leq y \leq 1$ → $y = x$ 上方、 $y = 1$ 下方的三角形。

②换Y型视角： $0 \leq y \leq 1$ , $0 \leq x \leq y$

I = \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y} e^{- y^{2}} d x

③内层： $e^{- y^{2}}$ 与 $x$ 无关 → $\int_{0}^{y} e^{- y^{2}} d x = y e^{- y^{2}}$

④外层： $\int_{0}^{1} y e^{- y^{2}} d y = [- \frac{1}{2} e^{- y^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{e})$

✅ 答案： $\frac{1}{2} (1 - e^{- 1})$

教训： $\int e^{- y^{2}} d y$ 无初等原函数，但对 $x$ 积分时它是常数 → 交换次序后迎刃而解。

例3：极坐标 — 圆域经典

题目：计算 $\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} (x^{2} + y^{2}) d x d y$

①识别：单位圆 + $x^{2} + y^{2}$ → 极坐标！

②代换： $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , $d x d y = r d r d θ$

③定限： $0 \leq θ \leq 2 π$ , $0 \leq r \leq 1$

I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r^{3} d r

⚠️ $r^{2}$ 来自被积函数， $r$ 来自雅可比。漏掉雅可比因子 $r$ 是新手第一高频错误！

④计算： $\int_{0}^{1} r^{3} d r = \frac{1}{4}$ → $I = 2 π \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{2}$

✅ 答案： $\frac{π}{2}$

例4：三重投影法 — 最通用

题目：计算 $∭_{Ω} x d x d y d z$ ， $Ω$ 为三坐标面及 $x + y + z = 1$ 围成的四面体。

①分析： $x, y, z \geq 0$ , $x + y + z \leq 1$

②投影法：固定 $(x, y)$ ， $z$ 从 $0$ 到 $1 - x - y$ ；底 $D_{x y}$ ： $x, y \geq 0$ , $x + y \leq 1$

I = \iint_{D_{x y}} [\int_{0}^{1 - x - y} x d z] d x d y

③内层： $\int_{0}^{1 - x - y} x d z = x (1 - x - y)$

I = \iint_{D_{x y}} (x - x^{2} - x y) d x d y

④底区域： $D_{x y}$ 用X型 → $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} (x - x^{2} - x y) d y$

⑤内层： $[(x - x^{2}) y - \frac{x}{2} y^{2}]_{0}^{1 - x} = \frac{x}{2} - x^{2} + \frac{x ^{3}}{2}$

⑥外层： $\int_{0}^{1} (\frac{x}{2} - x^{2} + \frac{x ^{3}}{2}) d x = \frac{1}{24}$

✅ 答案： $\frac{1}{24}$

用四面体轮换对称性验证： $∭ x = \frac{1}{3} ∭ (x + y + z) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24}$ ✓

例5：截面法 — $f$ 仅与 $z$ 有关时的最省力方法

题目：计算 $∭_{Ω} z^{2} d v$ ， $Ω : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} \leq 1$

①识别： $f = z^{2}$ 仅与 $z$ 有关 → 截面法！

②截面：固定 $z$ ，截面是椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2} ( 1 - z ^{2} / c ^{2} )} + \frac{y ^{2}}{b ^{2} ( 1 - z ^{2} / c ^{2} )} \leq 1$ ，面积 $= πab (1 - z^{2} / c^{2})$

③代入： $I = \int_{- c}^{c} z^{2} \cdot πab (1 - \frac{z ^{2}}{c ^{2}}) d z = 2 πab \int_{0}^{c} (z^{2} - \frac{z ^{4}}{c ^{2}}) d z$

④计算： $2 πab [\frac{z ^{3}}{3} - \frac{z ^{5}}{5 c ^{2}}]_{0}^{c} = 2 πab \cdot c^{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{4}{15} πab c^{3}$

✅ 答案： $\frac{4}{15} πab c^{3}$

例6：球面坐标 — 球+锥经典

题目：计算 $∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z$ ， $Ω$ 由 $z = x^{2} + y^{2}$ 和 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 围成。

①识别：球面+锥面 → 球面坐标

②定限： $θ \in [0, 2 π]$ ；锥面 $tan φ = 1$ → $φ \in [0, π /4]$ ； $r \in [0, R]$

I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π /4} sin φ d φ \int_{0}^{R} r^{4} d r

③计算： $= 2 π \cdot (1 - \frac{2}{2}) \cdot \frac{R ^{5}}{5} = \frac{2 π R ^{5}}{5} (1 - \frac{2}{2})$

✅ 答案： $\frac{2 π R ^{5}}{5} (1 - \frac{2}{2})$

📇 闪卡速记

二重积分的定义式？

$\iint_{D} fd σ = lim_{λ \to 0} \sum f (ξ_{k}, η_{k}) Δ σ_{k}$

直角坐标下面积微元？

$d σ = d x d y$

二重积分的几何意义？

以 $D$ 为底、 $z = f (x, y)$ 为顶的曲顶柱体体积（ $f \geq 0$ 时）

$f\equiv 1$ 时二重积分等于？

$\iint_{D} 1 d σ = σ$ （ $D$ 的面积）

线性性？

$\iint (c_{1} f + c_{2} g) = c_{1} \iint f + c_{2} \iint g$

估值不等式？

$mσ \leq \iint_{D} f \leq M σ$ （ $m, M$ 为最值）

中值定理？

$\iint_{D} f = f (ξ, η) \cdot σ$ （ $f$ 连续⇒存在）

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$f$ 关于 $y$ 奇？

积分 = 0（奇零）

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$f$ 关于 $y$ 偶？

$= 2 \iint_{D_{1}} f$ （ $D_{1}$ 为上半部分，偶倍）

$D$ 关于 $y=x$ 对称？

$\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D} f (y, x) d x d y$ （轮换对称）

$\iint_D (x^2+y^2)dxdy$ 关于 $y=x$ 对称？

$= 2 \iint_{D} x^{2} d x d y = 2 \iint_{D} y^{2} d x d y$

可积的充分条件？

$f$ 在有界闭区域上连续（或分片连续）

定义中 $\lambda$ 是什么？

小区域直径（非面积）的最大值

绝对值不等式？

$∣ \iint f ∣ \leq \iint ∣ f ∣$

区域可加性？

$D = D_{1} \cup D_{2}$ （不重叠）→ 积分=两部分之和

X 型区域的标准形式？

$a \leq x \leq b, φ_{1} (x) \leq y \leq φ_{2} (x)$ → $\int_{a}^{b} d x \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} fd y$

Y 型区域的标准形式？

$c \leq y \leq d, ψ_{1} (y) \leq x \leq ψ_{2} (y)$ → $\int_{c}^{d} d y \int_{ψ_{1}}^{ψ_{2}} fd x$

穿线法判别？

X型→垂直 $x$ 轴穿（下进上出）；Y型→垂直 $y$ 轴穿（左进右出）

投影法+穿线法各得什么？

投影法→外层限（常数）；穿线法→内层限（函数）

何时交换积分次序？

内层积不出来（如 $\int e^{- y^{2}} d y$ , $\int \frac{s i n y}{y} d y$ ）

交换次序的方法？

由积分限反推区域→画图→改写成另一类型→重写二次积分

矩形+分离变量？

$\iint_{[a, b] \times [c, d]} f_{1} f_{2} = (\int f_{1}) (\int f_{2})$

四步计算流程？

①画图判型→②不等式表示→③化二次积分→④N-L计算

二次积分外限必须是常数？

✅是。外限必须是常数，内限可以是变量函数

内层积分时外层变量？

视为常量

直角→极坐标代换？

$x = r cos θ, y = r sin θ, d x d y = r d r d θ$

雅可比 $|\partial(x,y)/\partial(r,\theta)|=$？

$r$

何时必须用极坐标？

被积函数含 $x^{2} + y^{2}$ 且区域为圆/扇形/圆环

极坐标积分次序？

先 $r$ 后 $θ$

$\theta$ 范围怎么定？

夹住法—区域夹在哪两条射线之间

$r$ 范围怎么定？

穿线法—从极点引射线，穿入/穿出的 $r$ 值

平移极坐标变换？

$x = a + r cos θ, y = b + r sin θ$ ，雅可比仍为 $r$

椭圆广义极坐标？

$x = a r cos θ, y = b r sin θ$ ， $d x d y = ab r d r d θ$

单位圆的极坐标？

$0 \leq θ \leq 2 π$ , $0 \leq r \leq 1$

圆环 $1\le x^2+y^2\le 4$？

$0 \leq θ \leq 2 π$ , $1 \leq r \leq 2$

偏心圆 $(x-1)^2+y^2\le 1$？

$r \leq 2 cos θ$ , $∣ θ ∣ \leq π /2$ 或平移极点

Wallis公式 $\int_0^{\pi/2}\sin^n x$？

$n$ 偶→ $\frac{( n - 1 )!!}{n !!} \cdot \frac{π}{2}$ ； $n$ 奇→ $\frac{( n - 1 )!!}{n !!}$

换元法面积微元换什么？

$d x d y = ∣ J ∣ d u d v$ ， $J$ 为雅可比行列式

三重积分定义式？

$∭_{Ω} fd v = lim_{λ \to 0} \sum f (ξ_{k}, η_{k}, ζ_{k}) Δ v_{k}$

直角坐标体积微元？

$d v = d x d y d z$

投影法公式？

$∭_{Ω} fd v = \iint_{D_{x y}} [\int_{z_{1}}^{z_{2}} fd z] d x d y$

截面法公式？

$∭_{Ω} fd v = \int_{a}^{b} [\iint_{D_{z}} fd x d y] d z$

如何确定 $D_{xy}$？

联立两曲面方程消去 $z$ →投影柱面→令 $z = 0$

截面法适用条件？

$f$ 仅与 $z$ 有关 + 截面规则（圆/椭圆）

截面法 $f(z)$ 简化？

$f (z)$ 在截面上为常数 → $\iint_{D_{z}} f (z) = f (z) \cdot Area (D_{z})$

$xOy$ 面对称，$f$ 关于 $z$ 奇？

积分=0（奇零）

球域轮换对称？

$∭ x^{2} = ∭ y^{2} = ∭ z^{2} = \frac{1}{3} ∭ (x^{2} + y^{2} + z^{2})$

四面体轮换对称？

$∭ x = ∭ y = ∭ z$

何时可直接做三次积分？

投影区域 $D_{x y}$ 是矩形时

三重积分中值定理？

$∭_{Ω} fd v = f (ξ, η, ζ) \cdot V (Ω)$

长方体+分离变量？

$∭ f_{1} f_{2} f_{3} = (\int f_{1}) (\int f_{2}) (\int f_{3})$

球面坐标三个变量范围？

$r \geq 0$ , $0 \leq φ \leq π$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

球面坐标变换公式？

$x = r sin φ cos θ$ , $y = r sin φ sin θ$ , $z = r cos φ$

球面坐标雅可比？

$∣ J ∣ = r^{2} sin φ$

球面坐标体积微元？

$d v = r^{2} sin φ d r d φ d θ$

球面坐标积分次序？

先 $r$ →再 $φ$ →最后 $θ$ （三步法：投影/夹住/穿线）

全球的球面坐标？

$0 \leq θ \leq 2 π$ , $0 \leq φ \leq π$ , $0 \leq r \leq R$

上半球 $\varphi$ 范围？

$0 \leq φ \leq π /2$

锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $\varphi=$？

$φ = π /4$

$\iiint_{r\le R}(x^2+y^2+z^2)dv=$？

$\frac{4}{5} π R^{5}$

球面坐标适合哪些区域？

✅球/半球/球+锥；❌两球相交/球+抛物面

偏心球变换？

$x = a + r sin φ cos θ$ 等， $∣ J ∣$ 仍为 $r^{2} sin φ$

$\varphi$ 范围如何确定？

夹住法—区域夹在哪个半顶角范围间

$x^2+y^2+z^2\le 2Rz$ 的 $r$ 范围？

$r \leq 2 R cos φ$

🧪 自测题

A组：基础概念（30道）

A1. 二重积分 $\iint_D f(x,y)d\sigma$ 的定义中，对 $D$ 的分法必须是等分。

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答案：❌错

定义要求任意分法，不必等分

A2. 若 $f(x,y)\ge 0$，则 $\iint_D f(x,y)d\sigma \ge 0$。

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答案：✅对

单调性推论1：非负函数积分≥0

A3. 若 $D$ 关于 $y$ 轴对称且 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是奇函数，则积分为零。

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答案：✅对

奇零： $y$ 轴对称→看 $x$ 奇偶， $f (- x, y) = - f (x, y)$ →积分为0

A4. $|\iint_D f\,d\sigma| = \iint_D |f|\,d\sigma$ 总成立。

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答案：❌错

应该是 $\leq$ ，等号不一定成立（ $f$ 有正有负时绝对值更小）

A5. $\iint_D 3\,dxdy$（$D$ 为矩形 $[0,1]\times[0,2]$）的值是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

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答案：D.6

$\iint_{D} 3 d x d y = 3 \cdot Area (D) = 3 \times 2 = 6$

A6. 若 $D$ 关于 $y=x$ 对称且 $\iint_D x^2dxdy=3$，则 $\iint_D (x^2+y^2)dxdy=$

A. 3 B. 6 C. 9 D. 不能确定

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答案：B.6

轮换对称： $\iint (x^{2} + y^{2}) = 2 \iint x^{2} = 2 \times 3 = 6$

A7. 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则一定存在 $(\xi,\eta)\in D$ 使得 $\iint_D f\,d\sigma = f(\xi,\eta)\cdot\sigma$。

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答案：✅对

中值定理：连续函数必有此性质

A8. 定义中的 $\lambda$ 是小区域面积的最大值。

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答案：❌错

$λ$ 是直径的最大值，不是面积！关键区别

A9. 区域 $D: 0\le x\le 1,\; x\le y\le 1$ 是

A. X型 B. Y型 C. 既是X型又是Y型

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答案：C.既是X型又是Y型

$0 \leq x \leq 1$ , $x \leq y \leq 1$ (X型)； $0 \leq y \leq 1$ , $0 \leq x \leq y$ (Y型)

A10. X型区域一定也能表示为Y型区域。

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答案：❌错

反例：两个抛物线夹的区域可能只能用一种型

A11. 二次积分 $\int_0^1 dx\int_0^x f(x,y)dy$ 的内层积分变量是

A. $x$ B. $y$ C. 两者都是

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答案：B. $y$

内层 $\int f (x, y) d y$ ，积分变量是 $y$

A12. $\int_0^1 dx\int_0^1 f(x,y)dy$ 的外层积分限可以是变量。

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答案：❌错

外层限必须是常数

A13. 区域 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=1$ 围成，作为X型区域，$x$ 的范围是

A. $[0,1]$ B. $[-1,1]$ C. $[0,\sqrt{y}]$

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答案：B. $[- 1, 1]$

抛物线 $y = x^{2}$ 从 $x = - 1$ 到 $x = 1$ 被 $y = 1$ 截住

A14. 矩形区域上的二重积分，若被积函数可分离变量，则等于两个定积分的乘积。

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答案：✅对

分离变量+矩形区域→乘积

A15. 二次积分 $\int_0^1 dx\int_x^1 f(x,y)dy$ 交换次序后为

A. $\int_0^1 dy\int_0^y fdx$ B. $\int_0^1 dy\int_y^1 fdx$

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答案：A

$D : 0 \leq x \leq y \leq 1$ → Y型： $0 \leq y \leq 1$ , $0 \leq x \leq y$

A16. $\iint_{x^2+y^2\le 1} f(x,y)dxdy$ 化为极坐标后为

A. $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 f dr$ B. $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 f\cdot rdr$ C. $\int_0^1 dr\int_0^{2\pi} f\cdot rd\theta$

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答案：B

极坐标必须有雅可比因子 $r$ ！这是最高频错误

A17. $dxdy$ 变为 $rdrd\theta$ 是因为雅可比行列式 $=r$。

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答案：✅对

$∣ J ∣ = r$

A18. 区域 $D: x^2+y^2\le 1,\; x\ge 0$ 的极坐标 $\theta$ 范围是

A. $[0,\pi]$ B. $[-\pi/2,\pi/2]$ C. $[0,\pi/2]$

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答案：B. $[- π /2, π /2]$

$x \geq 0$ → $cos θ \geq 0$ → $θ \in [- π /2, π /2]$

A19. 极坐标下总是先对 $\theta$ 积分，再对 $r$ 积分。

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答案：❌错

极坐标先 $r$ 后 $θ$

A20. 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$ 换元为 $x=ar\cos\theta,\;y=br\sin\theta$，面积微元变为

A. $rdrd\theta$ B. $abrdrd\theta$ C. $\sqrt{ab}rdrd\theta$

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答案：B. $ab r d r d θ$

广义极坐标雅可比 $∣ J ∣ = ab r$

A21. $\iint_{x^2+y^2\le 1} \sqrt{x^2+y^2}dxdy$ 用直角坐标也能直接计算。

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答案：❌错

直角坐标下 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ 内层限含 $1 - x^{2}$ ， $\int 1 - x^{2} d x$ 是反三角，很痛苦。极坐标最简单

A22. $\iiint_{x^2+y^2+z^2\le 1} 1\,dv$ 等于

A. 1 B. $\frac{4}{3}\pi$ C. $4\pi$

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答案：B. $\frac{4}{3} π$

球的体积公式： $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ， $R = 1$

A23. 投影法"先一后二"是先做定积分，后做二重积分。

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答案：✅对

先一（ $z$ 方向定积分）后二（ $x y$ 面二重积分）

A24. 截面法适用条件

A. $f$仅与$x$有关 B. $f$仅与$z$有关且截面规则 C. 任意

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答案：B

$f$ 仅与 $z$ 有关才能提出积分号外；截面规则才好求面积

A25. 若 $\Omega$ 关于 $xOy$ 对称且 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$，则积分为0。

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答案：❌错

$f (x, y, - z) = f (x, y, z)$ 是偶函数→应等于 $2 \times$ 上半积分，非0

A26. 长方体 $[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$ 上 $\iiint xyz\,dv=$

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{9}{2}$ C. 3 D. 6

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答案：B. $\frac{9}{2}$

分离变量： $(\int_{0}^{1} x d x) (\int_{0}^{2} y d y) (\int_{0}^{3} z d z) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$

A27. 球面坐标中 $\varphi=0$ 对应

A. $xOy$面 B. $z$轴正半轴 C. $z$轴负半轴

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答案：B. $z$ 轴正半轴

$φ = 0$ 时 $x = y = 0$ , $z = r > 0$

A28. 球面坐标的体积微元是 $r\,dr d\varphi d\theta$。

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答案：❌错

应多乘 $r sin φ$ ： $d v = r^{2} sin φ d r d φ d θ$

A29. 上半球 $x^2+y^2+z^2\le R^2,\;z\ge0$ 的 $\varphi$ 范围

A. $[0,\pi/4]$ B. $[0,\pi/2]$ C. $[0,\pi]$

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答案：B. $[0, π /2]$

上半球： $z = r cos φ \geq 0$ → $cos φ \geq 0$ → $φ \in [0, π /2]$

A30. 两个球相交的区域适合用球面坐标计算。

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答案：❌错

两球相交的边界曲面不是等 $r$ 面，球面坐标不适合

B组：基本计算（20道）

B1. 判断 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le 1} (x^2+y^2-1)dxdy$ 的符号。

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答案：负

$x^{2} + y^{2} \leq 1$ 内 $x^{2} + y^{2} - 1 \leq 0$ ，连续且不恒为零→积分<0

B2. 判断 $\displaystyle\iint_{|x|+|y|\le 1} \ln(x^2+y^2)dxdy$ 的符号（$0<x^2+y^2<1$）。

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答案：负

$∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ 内 $x^2+y^2<1$ → $\ln(x^2+y^2)<0$

B3. 利用估值不等式估计 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le 4} (x^2+4y^2+9)d\sigma$ 的范围。

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答案： $36 π \leq I \leq 100 π$

区域面积 $σ = 4 π$ ； $f$ 最小值 $m = 9$ （ $x = y = 0$ ），最大值 $M = 25$ （ $x^{2} = 4$ , $y = 0$ 或对称）

B4. 设 $D$ 为 $x^2+y^2\le 1$ 第一象限，判断 $\iint_D (x+y)^2 d\sigma = \iint_D (x-y)^2 d\sigma$ 是否成立。

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答案：✅相等

展开： $(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4 x y$ ，在第一象限用轮换→ $\iint x y = 0$ ？等等……直接用 $D$ 关于 $y = x$ 对称→两者相等

B5. 求极限 $\displaystyle\lim_{r\to 0^+} \frac{1}{\pi r^2}\iint_{x^2+y^2\le r^2} e^{x^2+y^2}\sin(x^2+y^2)dxdy$

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答案：0

中值定理： $\iint \approx f (0, 0) \cdot π r^{2} = 0 \cdot π r^{2}$ → 极限0

B6. 计算 $\displaystyle\iint_D xy\,d\sigma$，$D$ 由 $y=1$, $x=2$, $y=x$ 围成。

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答案： $\frac{9}{8}$

见手把手例1

B7. 计算 $\displaystyle\iint_D xy\,d\sigma$，$D$ 由 $y^2=x$ 和 $y=x-2$ 围成。

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答案： $\frac{45}{8}$ 或验证

先画图： $y^{2} = x$ 与 $y = x - 2$ 的交点是 $(1, - 1)$ 和 $(4, 2)$ →Y型： $y \in [- 1, 2]$ , $x \in [y^{2}, y + 2]$

B8. 计算 $\displaystyle\iint_D \frac{\sin y}{y}dxdy$，$D$ 由 $y=x$, $y=\pi$, $x=0$ 围成。

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答案：2

交换次序：原式= $\int_{0}^{π} d y \int_{0}^{y} \frac{s i n y}{y} d x = \int_{0}^{π} sin y d y = 2$

B9. 交换次序并计算：$\displaystyle\int_0^1 dx\int_x^1 e^{-y^2}dy$

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答案： $\frac{1}{2} (1 - e^{- 1})$

见手把手例2

B10. $D$ 为矩形 $[0,1]\times[0,2]$，计算 $\displaystyle\iint_D xe^y dxdy$

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答案： $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

分离变量： $(\int_{0}^{1} x d x) (\int_{0}^{2} e^{y} d y) = \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

B11. 用极坐标计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le 1} \sqrt{x^2+y^2}dxdy$

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答案： $\frac{2}{3} π$

极坐标： $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r \cdot r d r = 2 π \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} π$

B12. 计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le R^2} (x^2+y^2)dxdy$

查看答案

答案： $\frac{π}{2} R^{4}$

极坐标： $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{R} r^{2} \cdot r d r = 2 π \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{π}{2} R^{4}$

B13. 计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le a^2} e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

查看答案

答案： $π (1 - e^{- a^{2}})$

极坐标： $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{a} e^{- r^{2}} \cdot r d r = 2 π \cdot \frac{1 - e ^{- a^{2}}}{2}$

B14. 计算 $\displaystyle\iint_{(x-1)^2+(y-1)^2\le 1} (x+y)dxdy$（提示：平移极坐标）

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答案： $2 π$

平移极坐标： $x = 1 + r cos θ$ , $y = 1 + r sin θ$ , $x + y = 2 + r (cos θ + sin θ)$ ， $\iint (2 + r cos θ + r sin θ) r d r d θ = π \cdot 2 = 2 π$

B15. 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega x\,dxdydz$，$\Omega$ 为三个坐标面及 $x+y+z=1$ 围成。

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答案： $\frac{1}{24}$

见手把手例4

B16. 用截面法计算 $\displaystyle\iiint_\Omega z^2 dv$，$\Omega: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$

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答案： $\frac{4}{15} πab c^{3}$

见手把手例5

B17. 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=2-x^2-y^2$ 围成。

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答案：用柱坐标较方便

$z$ 从 $r^{2}$ 到 $2 - r^{2}$ ， $r$ 从0到1，被积函数 $r^{2}$ → $V = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r (2 - 2 r^{2}) d r$

B18. 用球面坐标计算 $\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\le R^2} (x^2+y^2+z^2)dv$

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答案： $\frac{4}{5} π R^{5}$

$\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{π} sin φ d φ \int_{0}^{R} r^{4} d r = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{R ^{5}}{5}$

B19. 将 $\Omega$ 用球面坐标表示：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 围成的含 $z$ 轴正半轴部分。

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答案： $0 \leq θ \leq 2 π$ , $0 \leq φ \leq π /4$ , $0 \leq r \leq R$

锥面 $tan φ = 1$ → $φ = π /4$

B20. 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x+2y+3z)^2 dv$，$\Omega: x^2+y^2+z^2\le R^2$

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答案： $\frac{14}{3} \cdot \frac{4}{5} π R^{5}$

轮换对称： $= \frac{1 + 4 + 9}{3} \cdot \frac{4}{5} π R^{5} = \frac{14}{15} \cdot 4 π R^{5}$

C组：综合应用（14道）

C1. ⭐ 设 $D: 0\le x\le 1, 0\le y\le 1$，判定 $\displaystyle\iint_D (x-y)d\sigma$ 的符号。

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答案：轮换对称：交换 $x, y$ ， $x - y$ 变号 → 积分=0

C2. ⭐⭐ 利用对称性求：$\displaystyle\iint_{0\le x,y\le 1} (\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$

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答案：轮换： $\iint sin x^{2} = \iint sin y^{2}$ ，原式= $\iint (sin x^{2} + cos x^{2}) d x d y = \iint 1 = 1$

C3. ⭐ 设 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=x$ 围成，分别按 X 型和 Y 型写出二次积分表达式。

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答案：X型： $0 \leq x \leq 1$ , $x^{2} \leq y \leq x$ ；Y型： $0 \leq y \leq 1$ , $y \leq x \leq y$

C4. ⭐⭐ 计算 $\displaystyle\iint_D \sqrt{x^2-y^2}dxdy$，$D$ 由 $y=0$, $y=x$, $x=1$ 围成（需交换次序）。

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答案：先换Y型： $\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} x^{2} - y^{2} d x$ ，令 $x = y sec t$

C5. ⭐ 设 $D$ 由 $xy=1$, $y=x$, $x=2$ 围成，求 $\displaystyle\iint_D e^{\frac{y}{x}}dxdy$。

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答案： $x$ 从1到2， $y$ 从 $1/ x$ 到 $x$ ；内层 $\int e^{y / x} d y = x e^{y / x}$ ，代入限得 $\int_{1}^{2} x (e - e^{1/ x^{2}}) d x$

C6. ⭐⭐ 计算由 $z=xy$, $x+y+z=1$, $z=0$ 围成的闭区域体积。

查看答案

答案： $Ω : 0 \leq z \leq x y$ , $x + y + x y \leq 1$ ， $x, y \geq 0$ 。底区域 $D_{x y} : x + y + x y \leq 1$ ，体积 $= \iint_{D_{x y}} x y d x d y$

C7. ⭐⭐⭐ 证明：$\displaystyle\iint_{0\le x,y\le 1} \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin y}+e^{\sin x}}dxdy \ge 1$

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答案：令 $I = \iint \frac{e ^{s i n x}}{e ^{s i n y} + e ^{s i n x}}$ ，轮换得 $I = \iint \frac{e ^{s i n y}}{e ^{s i n x} + e ^{s i n y}}$ ，两式相加： $2 I = \iint 1 = 1$ → $I = \frac{1}{2}$ ，原题可能笔误

C8. ⭐⭐⭐ 设 $D$ 为 $x^2+y^2\le r^2$，求 $\displaystyle\lim_{r\to 0^+}\frac{1}{r^4}\iint_D e^{x^2+y^2}\cos(x+y)dxdy$

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答案： $e^{x^{2} + y^{2}} \approx 1$ ， $cos (x + y) \approx 1$ 在 $r$ 小时。 $\iint_{D} \approx π r^{2}$ ， $I / r^{4} \to \infty$ ? 需展开到 $r^{4}$ 项检查

C9. ⭐⭐⭐ 已知 $\int_0^1 f(x)dx = 1$，求 $I=\displaystyle\int_0^1 dx\int_x^1 f(x)f(y)dy$

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答案：交换次序： $I = \int_{0}^{1} f (y) d y \int_{0}^{y} f (x) d x$ 。注意 $f (x)$ 与积分变量无关时可提出。答案： $\frac{1}{2}$ （因 $I + I = 1$ ）

C10. ⭐⭐⭐ 求球体 $x^2+y^2+z^2\le 4a^2$ 被圆柱面 $x^2+y^2=2ax$（$a>0$）截得的含在柱面内的立体体积。

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答案：用柱坐标： $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ ，柱面 $r = 2 a cos θ$ ，球面 $r^{2} + z^{2} \leq 4 a^{2}$ ， $θ \in [- π /2, π /2]$

C11. ⭐⭐⭐ 设 $D$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$，计算 $\displaystyle\iint_D \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}dxdy$

查看答案

答案：广义极坐标： $x = a r cos θ$ , $y = b r sin θ$ ， $d x d y = ab r d r d θ$ ， $I = ab \iint_{r \leq 1} 1 - r^{2} \cdot r d r d θ$

C12. ⭐⭐⭐ 计算 $I=\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+2y)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=1$, $z=5$, $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 围成。

查看答案

答案：柱坐标： $Ω$ 为圆柱 $r^{2} = 1/2$ 从 $z = 1$ 到 $z = 5$ 。 $2 y$ 关于 $y$ 是奇函数→ $∭ 2 y = 0$ 。 $I = ∭ x^{2} = ∭ r^{2} cos^{2} θ \cdot r d r d θ d z$

C13. ⭐⭐⭐ 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2)z\,dv$，$\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 与 $x^2+y^2+z^2\le 2Rz$ 的公共部分。

查看答案

答案：两球公共部分：球面坐标 $r \leq 2 R cos φ$ （来自 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2 R z$ ）且 $r \leq R$ 。分界 $φ = π /3$

C14. ⭐⭐ 计算 $\displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 围成。

查看答案

答案： $z = x^{2} + y^{2}$ → $φ = π /4$ ； $z = 2 - x^{2} - y^{2}$ → $r = 2$ 。球面坐标： $θ \in [0, 2 π]$ , $φ \in [0, π /4]$ , $r \in [0, 2]$

⚠️ 常见错误清单（考前必看）

#	错误	为什么错	正确做法
1	极坐标忘了乘 $r$	$d x d y = r d r d θ$ ， $r$ 是雅可比	写下代换时立刻在旁边标出 $r d r d θ$
2	球面坐标忘了 $r^{2} sin φ$	$d v = r^{2} sin φ d r d φ d θ$	同理，写下代换时标出微元
3	交换次序后限写反	没画图，凭感觉改限	必须画图再写限
4	对称性用了但区域不对称	只看被积函数不管区域	先验证区域对称性，再看被积函数奇偶
5	截面法用在 $f$ 依赖 $x, y$ 时	$f (x, y, z)$ 在截面上不是常数，提不出去	确认 $f$ 仅与 $z$ 相关（或 $y$ / $x$ ）
6	外层积分限写成变量	外层限必须是常数	投影法得常数、穿线法得函数，不要搞反
7	X型/Y型判断错	没区分穿线方向	X型=垂直 $x$ 轴穿；Y型=垂直 $y$ 轴穿
8	$λ \to 0$ 理解成面积→0	定义用直径非面积	记住”窄长条”反例
9	被积函数代入极坐标后忘了乘 $r$	只代换 $x, y$ 的表达式	代换两步：① $f (x, y) \to f (r cos θ, r sin θ)$ ② $d x d y \to r d r d θ$
10	$φ$ 范围写成 $[0, 2 π]$	球面坐标 $φ$ 是纬度角， $φ \in [0, π]$	画图： $φ$ 从北极( $0$ )量到南极( $π$ )

第九章 重积分及其应用（完整版）

第九章 重积分及其应用

🏔️ 直觉地图

🧭 方法选择决策树

一、知识整合

§9.1 二重积分的概念与性质

从定积分到二重积分

二重积分的7条性质

🎯 对称性质（考试重点）

§9.2 二重积分的计算法

§9.2.1 直角坐标计算

X 型区域（先 y 后 x）

Y 型区域（先 x 后 y）

四步计算流程

⚠️ 交换积分次序

矩形区域 + 分离变量

§9.2.2 极坐标与坐标变换

雅可比行列式是什么？（新手入门）

换元法定理

🎯 标准极坐标（极点=原点）

三种常见极坐标区域

平移极坐标（偏心圆）

广义极坐标（椭圆）

Wallis 公式（何时用？）

直角 ↔ 极坐标速查

§9.3 三重积分及其计算

§9.3.1 概念与直角坐标计算

三重积分定义

🎯 三重对称性质

📐 投影法（先一后二）— 最通用

🔪 截面法（先二后一）— 特定条件最省力

§9.3.2 球面坐标计算

球面坐标定义

三步限法（先 r → φ → θ）

常见区域球面坐标表示

重要公式

适用边界

偏心球

🎯 手把手例题（教练车模式）

例1：直角坐标 — X/Y型选择

例2：交换次序 — 积不出来时换路

例3：极坐标 — 圆域经典

例4：三重投影法 — 最通用

例5：截面法 — f仅与z有关时的最省力方法

例6：球面坐标 — 球+锥经典

📇 闪卡速记

🧪 自测题

A组：基础概念（30道）

B组：基本计算（20道）

C组：综合应用（14道）

⚠️ 常见错误清单（考前必看）

发现需要修正的地方？

第九章重积分及其应用（完整版）

第九章重积分及其应用

X 型区域（先 $y$ 后 $x$ ）

Y 型区域（先 $x$ 后 $y$ ）

三步限法（先 $r$ → $φ$ → $θ$ ）

例5：截面法 — $f$ 仅与 $z$ 有关时的最省力方法