§9.3 三重积分及其计算（一）— 直角坐标

§9.3.1 三重积分的概念

定义

设 $f(x,y,z)$ 是空间有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数，将 $\Omega$ 任意分割为 $n$ 个小闭区域，作积分和取极限：

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta v_k$

物理意义：若 $f$ 为密度函数，则三重积分 = 物体的质量。

在直角坐标中，$dv=dxdydz$。

性质

三重积分的性质与二重积分完全相同。

特别强调：

1. ${\iiint }_{\Omega }kdv=k\cdot V(\Omega )$（区域体积）
2. 三重积分中值定理
3. 对称性：关于 $xOy$ 面对称时，$f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$ → 积分为 0；$f(x,y,-z)=f(x,y,z)$ → 2 倍上半部分

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§9.3.2 轮换对称性 ⭐（考研重点）

情形1：球体

当 $\Omega :x^2+y^2+z^2\le R^2$ 时：

${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv$

${\iiint }_{\Omega }(ax+by+cz{)}^{2}dv=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv$

情形2：四面体

当 $\Omega$ 为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\le 1$（$a,b,c>0$）时，关于面 $y=x$ 对称：

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iiint }_{\Omega }f(y,x,z)dv$

情形3：长方体上的分离

若 $\Omega =[a,b]\times [c,d]\times [e,f]$ 且 $f(x,y,z)=f_1(x)f_2(y)f_3(z)$，则：

${\iiint }_{\Omega }fdv=\left({\int }_a^b{f}_1(x)dx\right)\left({\int }_c^d{f}_2(y)dy\right)\left({\int }_e^f{f}_3(z)dz\right)$

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§9.3.3 直角坐标下的计算方法

方法一：投影法 — “先一后二”

将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 面得 $D_{xy}$，过 $D_{xy}$ 内任一点作平行于 $z$ 轴的直线，从 $z_1(x,y)$ 穿入，从 $z_2(x,y)$ 穿出：

$\Omega :\{\begin{array}{l}{z}_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\\ (x,y)\in D_{xy}\end{array}$

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]dxdy$

如何确定 $D_{xy}$：从两曲面方程中消去 $z$，得到投影柱面方程 $H(x,y)=0$，投影曲线围成的区域即 $D_{xy}$。

方法二：截面法 — “先二后一”

当 $\Omega$ 夹在平面 $z=a$ 和 $z=b$ 之间，且用平面 $z=z$ 截得的截面 $D_z$ 容易处理时：

$\Omega :\{\begin{array}{l}a\le z\le b\\ (x,y)\in D_z\end{array}$

${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_a^b\left[{\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy\right]dz$

典型场景：$f$ 仅与 $z$ 有关，且截面规则（圆、椭圆等）。

方法选择

方法	适用场景
先一后二（投影法）	一般情况，步骤清晰
先二后一（截面法）	被积函数仅含 $z$，截面为圆/椭圆/规则区域

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典型例题

例1（四面体）

计算 ${\iiint }_{\Omega }xdxdydz$，$\Omega$ 为坐标面与 $x+y+z=1$ 所围区域。

$\Omega :0\le x\le 1,0\le y\le 1-x,0\le z\le 1-x-y$

$={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}dy{\int }_0^{1-x-y}xdz=\frac{1}{24}$

例2（截面法）

计算 ${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv$，$\Omega :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$

截面法：$z=z$ 时截面为椭圆 $D_z:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1-\frac{z^2}{c^2}$

$S(z)=\pi ab(1-\frac{z^2}{c^2})$

${\iiint }_z{z}^{2}dv={\int }_{-c}^c{z}^2\cdot \pi ab(1-\frac{z^2}{c^2})dz=\frac{4}{15}\pi ab{c}^3$

例3（考研）

计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)dv$，$\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 与 $z=2-x^2-y^2$ 围成。

消去 $z$：$x^2+y^2=2-x^2-y^2⟹x^2+y^2=1$

$D_{xy}:x^2+y^2\le 1$，$x^2+y^2\le z\le 2-x^2-y^2$

转化为极坐标下的二重积分计算。

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关键词汇总

概念	公式
三重积分定义	${\iiint }_{\Omega }fdv=\lim \sum f({\xi }_k)\Delta v_k$
投影法	${\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1}^{z_2}fdz\right]dxdy$
截面法	${\int }_a^b\left[{\iint }_{D_z}fdxdy\right]dz$
轮换对称（球）	$\iiint x^2=\iiint y^2=\iiint z^2=\frac{1}{3}\iiint r^2$
长方体分离	$\iiint f_1(x)f_2(y)f_3(z)=\int f_1\cdot \int f_2\cdot \int f_3$