§9.2 二重积分的计算法（二）— 极坐标与坐标变换

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一、何时使用极坐标？

当被积函数含 $x^2+y^2$ 或积分区域为圆/圆环/扇形时，极坐往往比直角坐标简单很多！

坐标变换：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

面积微元：$dxdy=rdrd\theta$（雅可比行列式 $J=r$）

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$

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二、极坐标下区域的三种常见类型

在极坐标系下，一般先对 $r$ 后对 $\theta$ 积分（$D$ 常是扇形区域）。

定限方法

步骤	方法
定 $\theta$ 范围	夹住法：用两条射线夹住区域
定 $r$ 范围	穿线法：从极点发出一条射线穿过区域，穿入 → 下限，穿出 → 上限

情形1：一般扇形

$D:\alpha \le \theta \le \beta ,{\phi }_1(\theta )\le r\le {\phi }_2(\theta )$

${\iint }_D={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$

情形2：极点出发的扇形

$D:\alpha \le \theta \le \beta ,0\le r\le \phi (\theta )$

${\iint }_D={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{\phi (\theta )}frdr$

情形3：包含极点的闭曲线

$D:0\le \theta \le 2\pi ,0\le r\le \phi (\theta )$

${\iint }_D={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\phi (\theta )}frdr$

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三、典型例题

例1（圆域上的 $x^2+y^2$）

计算 ${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy$，$D:x^2+y^2\le 1$

$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}r\cdot rdr=2\pi \cdot \frac{1}{3}=\frac{2\pi }{3}$

例2（圆环域）

计算 ${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy$，$D:1\le x^2+y^2\le 4$

$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_1^2{r}^2\cdot rdr=2\pi \cdot \frac{15}{4}=\frac{15\pi }{2}$

例3（经典：$e^{-x^2-y^2}$ 积分 ⭐）

计算 ${\iint }_D{e}^{-x^2-y^2}dxdy$，$D:x^2+y^2\le a^2$

$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{e}^{-r^2}rdr=2\pi \cdot {\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^a=\pi (1-e^{-a^2})$

取 $a\to \infty$ 可得著名结果：${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

例4（考研：球体被圆柱截取体积）

求 $x^2+y^2+z^2\le 4a^2$ 被 $x^2+y^2=2ax$ 所截的含在柱面内的立体体积（$a>0$）。

柱面 $x^2+y^2=2ax$ 在极坐标下：$r=2a\cos \theta$，$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$

$V=2{\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2a\cos \theta }\sqrt{4a^2-r^2}rdr=\frac{32a^3}{3}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{2}{3}\right)$

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四、广义极坐标变换

1. 极点平移

当区域不以原点为中心时：$x=a+r\cos \theta ,y=b+r\sin \theta$

雅可比 $J=r$（同标准极坐标）

2. 椭圆区域

当 $D:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$ 时：

$\{\begin{array}{l}x=ar\cos \theta \\ y=br\sin \theta \end{array},J=abr$

${\iint }_D={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}f(ar\cos \theta ,br\sin \theta )abrdr$

例：${\iint }_D\left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)dxdy=\frac{2\pi }{3}ab$

3. 一般坐标变换

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$

其中 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|$

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五、极坐标使用信号总结

信号	说明
$x^2+y^2$ 在被积函数	化简为 $r^2$
积分区域为圆/环/扇形	$\theta$ 和 $r$ 范围简单
$\frac{1}{x^2+y^2}$ 型	化为 $\frac{1}{r}$，更易积分
$e^{-x^2-y^2}$	极坐标直接出结果

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关键词汇总

概念	公式
极坐标变换	$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$
雅可比	$J=r$，即 $dxdy=rdrd\theta$
二重积分	$\iint f=\iint f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$
定 $\theta$ 限	夹住法
定 $r$ 限	穿线法
椭圆极坐标	$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$，$J=abr$
一般变换	$\iint f = \iint f(x(u,v))