§9.2 二重积分的计算法（一）— 直角坐标

核心思想

利用几何意义将二重积分转化为二次积分（累次积分）计算。

---

一、积分区域的两种类型

X 型区域（先 y 后 x）

$D:\{\begin{array}{l}a\le x\le b\\ {\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\end{array}$

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$

判别法：用垂直于 $x$ 轴的直线从下向上穿过 $D$，与边界只有两个交点。

Y 型区域（先 x 后 y）

$D:\{\begin{array}{l}c\le y\le d\\ {\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\end{array}$

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx$

判别法：用垂直于 $y$ 轴的直线从左向右穿过 $D$，与边界只有两个交点。

---

二、计算步骤

1. 画图：画出积分区域 $D$
2. 定型：判断 X 型还是 Y 型
3. 定限：投影法 + 穿线法确定积分上下限
4. 计算：化为二次积分，用 NL 公式计算

定限口诀：

• 外限（先不积分的变量）：将区域向坐标轴投影
• 内限（先积分的变量）：穿入曲线 → 下限，穿出曲线 → 上限

例1（基础）

计算 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，$D$ 由 $y=1,y=x,x=2$ 围成。

解（X 型）：$D:1\le x\le 2,\frac{1}{x}\le y\le x$

（注意：此处需要先画图确定边界）

---

三、积分次序的选择 ⭐

关键：选择不同的积分顺序，难易程度可能天差地别！

例2（重要）

计算 ${\iint }_D\frac{y}{x^2}d\sigma$，$D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=x+2$ 围成。

分析：

• X 型需要分两段（$D$ 分为 $x\in [0,1]$ 和 $x\in [1,4]$，边界曲线不同）
• Y 型：$D:-1\le y\le 2,\frac{y}{2}\le x\le \sqrt{y}$，一次积分即可

例3（经典：必须交换次序）

计算 ${\iint }_D\frac{\sin y}{y}dxdy$，$D$ 由 $y=x,y=\frac{\pi }{2},x=0$ 围成。

直接按 X 型：${\int }_0^{\pi /2}dx{\int }_x^{\pi /2}\frac{\sin y}{y}dy$，内层 $\int \frac{\sin y}{y}dy$ 没有初等原函数！

交换次序（Y 型）：$0\le y\le \frac{\pi }{2},0\le x\le y$

${\int }_0^{\pi /2}dy{\int }_0^y\frac{\sin y}{y}dx={\int }_0^{\pi /2}\sin ydy=1$

例4（二次积分直接交换）

交换 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^1{e}^{-y^2}dy$ 的积分次序并计算。

Y 型：$0\le y\le 1,0\le x\le y$

${\int }_0^{1}dy{\int }_0^y{e}^{-y^2}dx={\int }_0^{1}y{e}^{-y^2}dy=-\frac{1}{2}{e}^{-y^2}{|}_0^1=\frac{1}{2}(1-e^{-1})$

---

四、矩形区域上的可分离变量

若 $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$ 且 $D=[a,b]\times [c,d]$（矩形区域），则：

${\iint }_{D}g(x)h(y)dxdy=\left({\int }_a^{b}g(x)dx\right)\cdot \left({\int }_c^{d}h(y)dy\right)$

即二重积分 = 两个单积分的乘积！

例5（考研）

已知 ${\int }_0^{1}f(x)dx=1$，求 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x)f(y)dy$

区域 $0\le x\le 1,x\le y\le 1$（三角形区域），交换次序并利用对称性： $\frac{1}{2}{\iint }_{[0,1{]}^2}f(x)f(y)dxdy=\frac{1}{2}{\left({\int }_0^{1}f(x)dx\right)}^2=\frac{1}{2}$

---

关键词汇总

概念	公式
X 型区域	${\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}fdy$
Y 型区域	${\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}fdx$
定限法	投影法（外限）+ 穿线法（内限）
交换次序信号	内层积分无初等原函数，被积函数复杂
矩形区域分离	$\iint g(x)h(y)=\int g\cdot \int h$