§9.1 二重积分的概念与性质

概述

定积分（一元）$\stackrel{\text{推广}}{\to }$ 二重积分（二元）$\stackrel{\text{推广}}{\to }$ 三重积分（三元）

核心方法：“分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限”（微元思想）

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§9.1.1 二重积分的概念

一、知识回顾：定积分（曲边梯形面积）

$A={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}f(x)dx$

四步：分割 $[a,b]$ → 近似代替 $f({\xi }_i)\Delta x_i$ → 求和 → 取极限

二、引例1：曲顶柱体的体积

底：$Oxy$ 面上的闭区域 $D$；顶：连续曲面 $z=f(x,y)\ge 0$；侧面：以 $D$ 的边界为准线、母线平行于 $z$ 轴的柱面

1. 分割：将 $D$ 任意分为 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\dots ,\Delta {\sigma }_n$（符号既表示区域也表示面积）
2. 近似代替：在每个 $\Delta {\sigma }_k$ 中任取 $({\xi }_k,{\eta }_k)$，$\Delta V_k\approx f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$
3. 求和：$V\approx {\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$
4. 取极限：令 $\lambda =\max \{d_k\}$（$d_k$ 为 $\Delta {\sigma }_k$ 的直径），则

$V={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

三、引例2：平面薄片的质量

面密度 $\mu (x,y)>0$ 在 $D$ 上连续，同理可得：

$M={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^n\mu ({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

四、二重积分的定义

设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界。将 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_k$，任取 $({\xi }_k,{\eta }_k)\in \Delta {\sigma }_k$，作积分和（黎曼和）：

${\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

若极限 $\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$ 存在，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，此极限称为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

可积性定理：若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续或分片连续，则在 $D$ 上可积。

五、术语与记号

术语	记号/说明
积分域	$D$
被积函数	$f(x,y)$
被积表达式	$f(x,y)d\sigma$
面积微元	$d\sigma$
积分变量	$x,y$

直角坐标系下：用平行于坐标轴的直线划分 $D$，小区域为矩形，$d\sigma =dxdy$，故：

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$

六、二重积分的意义

意义	解释
几何意义	曲顶柱体的体积：$V={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$
物理意义	平面薄片的质量：$M={\iint }_D\mu (x,y)d\sigma$

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§9.1.2 二重积分的性质

性质1：线性性质

设 $c_1,c_2$ 为常数，则

${\iint }_D[c_{1}f(x,y)+c_{2}g(x,y)]d\sigma =c_1{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma +c_2{\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$

性质2：积分区域可加性

若 $D=D_1\cup D_2$（$D_1\cap D_2=\varnothing$），则

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$

性质3：面积性质

若 $f(x,y)\equiv 1$，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则

${\iint }_{D}1\cdot d\sigma ={\iint }_{D}d\sigma =\sigma$

逆用：$\sigma ={\iint }_{D}d\sigma$（常用于计算面积）

性质4：单调性

若在 $D$ 上 $f(x,y)\ge g(x,y)$，则

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \ge {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$

四个推论：

推论	条件	结论
①	$f(x,y)\ge 0$	${\iint }_{D}fd\sigma \ge 0$
②	$f(x,y)\ge 0$ 且非负连续，在某点 $>0$	${\iint }_{D}fd\sigma >0$
③	—	$\left
④	$D_1\subset D_2$，$f\ge 0$	${\iint }_{D_1}fd\sigma \le {\iint }_{D_2}fd\sigma$

性质5：估值不等式

设 $M,m$ 分别为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则

$m\sigma \le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M\sigma$

性质6：二重积分中值定理

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 为 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$，使

${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma$

性质7：对称性质 ⭐（非常重要）

① 关于 $x$ 轴对称

若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$D_1$ 为 $D$ 在 $x$ 轴上方的部分：

0 & \text{若 } f(x, -y) = -f(x, y) \quad \text{（关于 $y$ 为奇函数）} \\[6pt] 2\displaystyle\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma & \text{若 } f(x, -y) = f(x, y) \quad \text{（关于 $y$ 为偶函数）} \end{cases}$$ #### ② 关于 $y$ 轴对称（同理） $$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \begin{cases} 0 & \text{若 } f(-x, y) = -f(x, y) \\[6pt] 2\displaystyle\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma & \text{若 } f(-x, y) = f(x, y) \end{cases}$$ #### ③ 推广：关于 $y = a$ 对称 若 $D$ 关于直线 $y = a$ 对称： $$\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \begin{cases} 0 & \text{若 } f(x, a-y) = -f(x, a+y) \\[6pt] 2\displaystyle\iint_{D_1} f(x,y)\,d\sigma & \text{若 } f(x, a-y) = f(x, a+y) \end{cases}$$ #### ④ 轮换对称性（关于 $y = x$ 对称） 若 $D$ 关于 $y = x$ 对称，则： $$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_D f(y,x)\,dx\,dy$$ **常用技巧**： $$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \frac{1}{2}\iint_D [f(x,y) + f(y,x)]\,dx\,dy$$ **特例**： - $\iint_D (x^2 + y^2)\,dx\,dy = 2\iint_D x^2\,dx\,dy$ - $\iint_D (x^3 - y^3)\,dx\,dy = 0$（若 $D$ 关于 $y=x$ 对称） --- ## 典型例题 ### 例1：利用对称性简化 $D$ 为圆域 $x^2 + y^2 \leq 1$，$D_1$ 为第一象限部分： $$\iint_{D_1} (x^2 + y^2)\,d\sigma = \frac{1}{4}\iint_D (x^2 + y^2)\,d\sigma$$ $$\iint_D xy\,d\sigma = 0 \quad \text{（关于 $x$ 和 $y$ 均为奇函数）}$$ ### 例2：判断积分符号 判断 $\displaystyle\iint_{|x|+|y| \leq 1} \ln(x^2 + y^2)\,dx\,dy$ 的正负。 > 解：当 $|x|+|y| \leq 1$ 时，$x^2+y^2 \leq (|x|+|y|)^2 \leq 1$，故 $\ln(x^2+y^2) \leq 0$，积分 $\leq 0$。 ### 例3：利用轮换对称性 $$\iint_{\substack{0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1}} (\sin x^2 + \cos y^2)\,d\sigma$$ > 解：由轮换对称性，$\iint_D \sin x^2\,d\sigma = \iint_D \sin y^2\,d\sigma$，$\iint_D \cos y^2\,d\sigma = \iint_D \cos x^2\,d\sigma$， > 原式 $= \frac{1}{2}\iint_D [(\sin x^2 + \cos y^2) + (\sin y^2 + \cos x^2)]\,d\sigma = \iint_D 1\,d\sigma = 1$ ### 例4（考研）：与二重积分有关的极限 $$\lim_{r \to 0} \frac{1}{r^2} \iint_{x^2+y^2 \leq r^2} e^{x^2+y^2} \sin(x^2+y^2)\,dx\,dy$$ > 用中值定理：$\exists (\xi,\eta) \in D$，原式 $= \lim_{r \to 0} \frac{1}{r^2} \cdot e^{\xi^2+\eta^2} \sin(\xi^2+\eta^2) \cdot \pi r^2 = \pi \cdot e^0 \cdot 0 = 0$ --- ## 关键词公式汇总 | 概念 | 公式 | |------|------| | 二重积分定义 | $\displaystyle\iint_D f\,d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum f(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$ | | 面积微元 | $d\sigma = dx\,dy$（直角坐标） | | 面积 | $\sigma = \iint_D d\sigma$ | | 估值不等式 | $m\sigma \leq \iint_D f\,d\sigma \leq M\sigma$ | | 中值定理 | $\iint_D f\,d\sigma = f(\xi,\eta) \cdot \sigma$ | | 奇偶对称（x轴） | $f$ 关于 $y$ 奇 → $0$；偶 → $2\iint_{D_1}$ | | 轮换对称 | $\iint_D f(x,y) = \iint_D f(y,x) = \frac{1}{2}\iint_D [f(x,y)+f(y,x)]$ |