§8.7 偏导数在几何中的应用

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一、空间曲线的切线与法平面

情形1：参数方程 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$

设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 对应 $t=t_0$，切向量：

$\vec{T}=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$

切线方程：

$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$

法平面方程（与切线垂直）：

$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$

例1：曲线 $x=t,y=t^2,z=t^3$ 在 $(1,1,1)$ 处的切线与法平面

$t_0=1$，$\vec{T}=(1,2,3)$

切线：$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$

法平面：$(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$

情形2：一般式（交面式）$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$ ⭐考点

若在 $P_0$ 的某邻域内 $\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}{|}_{P_0}\ne 0$，可确定 $y=y(x),z=z(x)$。

切向量：$\vec{T}=(1,y^{\prime }(x_0),z^{\prime }(x_0))$

或更对称地，切向量可取为：

$\vec{T}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ F_x& F_y& F_z\\ G_x& G_y& G_z\end{array}\right|$

求法：方程组两边对 $x$ 求导，解出 $y^{\prime }(x),z^{\prime }(x)$。

例2（典型）： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=6\\ x+y+z=0\end{array}$ 在 $(1,-2,1)$ 处的切线与法平面

两边对 $x$ 求导： $\{\begin{array}{l}2x+2y{y}^{\prime }+2z{z}^{\prime }=0\\ 1+y^{\prime }+z^{\prime }=0\end{array}$

代入 $(1,-2,1)$：$\{\begin{array}{l}2-4y^{\prime }+2z^{\prime }=0\\ 1+y^{\prime }+z^{\prime }=0\end{array}$

解得 $y^{\prime }=0,z^{\prime }=-1$，$\vec{T}=(1,0,-1)$

切线：$\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$

法平面：$(x-1)+0-(z-1)=0$，即 $x-z=0$

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二、空间曲面的切平面与法线

情形1：隐函数形式 $F(x,y,z)=0$

法向量：

$\vec{n}=(F_x^{\prime }(P_0),F_y^{\prime }(P_0),F_z^{\prime }(P_0))$

切平面方程：

$F_x^{\prime }(P_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(P_0)(y-y_0)+F_z^{\prime }(P_0)(z-z_0)=0$

法线方程：

$\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }(P_0)}$

例3：球面 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 的切平面

$F=x^2+y^2+z^2-r^2$，$\vec{n}=(2x_0,2y_0,2z_0)$

切平面：$x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)+z_0(z-z_0)=0$

即 $x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^2$

例3b：椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的切平面

$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}+\frac{z_{0}z}{c^2}=1$

例3c：抛物面 $z=a{x}^2+b{y}^2$ 的切平面

令 $F=a{x}^2+b{y}^2-z$，$\vec{n}=(2a{x}_0,2b{y}_0,-1)$

切平面：$2a{x}_0(x-x_0)+2b{y}_0(y-y_0)-(z-z_0)=0$

情形2：显函数形式 $z=f(x,y)$

令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$，则 $\vec{n}=(f_x^{\prime },f_y^{\prime },-1)$

切平面方程：

$z-z_0=f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)$

几何意义：切平面 = 全微分的几何解释，即曲面在一点附近可用切平面近似。

法线方程：

$\frac{x-x_0}{f_x^{\prime }(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y^{\prime }(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$

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三、经典题型

题型1：证明切平面过定点

证明曲面 $z=xf\left(\frac{y}{x}\right)$（$f$ 可微）上任一点的切平面都通过原点。

$f_x^{\prime }=f-\frac{y}{x}{f}^{\prime }$，$f_y^{\prime }=f^{\prime }$

切平面：$z-x_{0}f=\left(f-\frac{y_0}{x_0}{f}^{\prime }\right)(x-x_0)+f^{\prime }(y-y_0)$

验证 $(0,0,0)$ 满足方程 ✓

题型2：平面与曲面相切

平面 $3x+3y-z+16=0$ 与椭球面 $3x^2+y^2+z^2=16$ 相切，求切点。

法向量平行：$\frac{6x_0}{3}=\frac{2y_0}{3}=\frac{2z_0}{-1}$，解得 $\lambda =\pm 2$

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关键词汇总

对象	核心量	公式
曲线（参数）切线	$\vec{T}=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$	$\frac{x-x_0}{x^{\prime }}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }}$
曲线法平面	同上	$x^{\prime }(x-x_0)+y^{\prime }(y-y_0)+z^{\prime }(z-z_0)=0$
曲线（交面）切向量	方程组对 $x$ 求导	$\vec{T}=(1,y^{\prime },z^{\prime })$
曲面（隐）切平面	$\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)$	$F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$
曲面（显）切平面	$\vec{n}=(f_x,f_y,-1)$	$z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$
法线	$\vec{n}$	$\frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z}$