§8.6 隐函数的求导法则

§8.6.1 一个方程确定的隐函数

一、$F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$

隐函数存在定理1：若 $F(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内满足：

1. 具有连续偏导数
2. $F(x_0,y_0)=0$
3. $F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$

则方程 $F(x,y)=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 某邻域内可唯一确定 $y=y(x)$，且：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

两种方法：

• 公式法：直接代入 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$
• 推导法：方程两边对 $x$ 求导（$y$ 视为 $x$ 的函数），解出 $\frac{dy}{dx}$

推导： $F(x,y(x))=0⟹F_x^{\prime }+F_y^{\prime }\cdot \frac{dy}{dx}=0⟹\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

例1：验证 $\sin y+e^x-xy-1=0$ 在 $(0,0)$ 可确定隐函数，求 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$

令 $F(x,y)=\sin y+e^x-xy-1$

• $F(0,0)=0+1-0-1=0$ ✓
• $F_y^{\prime }=\cos y-x$，$F_y^{\prime }(0,0)=1\ne 0$ ✓
• $\frac{dy}{dx}=-\frac{e^x-y}{\cos y-x}$，$\frac{dy}{dx}{|}_{(0,0)}=-\frac{1-0}{1-0}=-1$

二、$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$

隐函数存在定理2：若 $F(x,y,z)$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足：

1. 具有连续偏导数
2. $F(x_0,y_0,z_0)=0$
3. $F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$

则确定 $z=f(x,y)$，且：

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$

推导（方程两边对 $x$ 求偏导）： $F_x^{\prime }+F_z^{\prime }\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0⟹\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$

例2：$f(x-y,y-z,z-x)=0$，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$

直接用微分形式不变性更简便。

---

§8.6.2 方程组确定的隐函数

雅可比（Jacobian）行列式

$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_y^{\prime }& F_z^{\prime }\\ G_y^{\prime }& G_z^{\prime }\end{array}\right|=F_y^{\prime }{G}_z^{\prime }-F_z^{\prime }{G}_y^{\prime }$

$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$ 确定 $y=y(x),z=z(x)$

隐函数存在定理4（重要）：若 $F,G$ 满足：

1. 对各个变量有连续偏导数
2. $F(x_0,y_0,z_0)=0,G(x_0,y_0,z_0)=0$
3. $\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}{|}_{P_0}\ne 0$

则方程组可唯一确定 $y=y(x),z=z(x)$，且：

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,z)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}},\frac{dz}{dx}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,x)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}}$

推导法更实用：方程组两边同时对 $x$ 求导，视 $y,z$ 为 $x$ 的函数，解线性方程组。

推导：

$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }+F_y^{\prime }\cdot \frac{dy}{dx}+F_z^{\prime }\cdot \frac{dz}{dx}=0\\ G_x^{\prime }+G_y^{\prime }\cdot \frac{dy}{dx}+G_z^{\prime }\cdot \frac{dz}{dx}=0\end{array}$

这是关于 $\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$ 的线性方程组，用克拉默法则求解。

例3（考研）： $\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x^2+y^2+z^2=1\end{array}$ 求 $\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx}$

两边对 $x$ 求导： $\{\begin{array}{l}1+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}=0\\ 2x+2y\frac{dy}{dx}+2z\frac{dz}{dx}=0\end{array}$

解得 $\frac{dy}{dx}=\frac{z-x}{y-z}$，$\frac{dz}{dx}=\frac{x-y}{y-z}$

例4（考研）： $\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2\\ x+y+z=0\end{array}$ 求 $\frac{dz}{dx}$

两边对 $x$ 求导： $\{\begin{array}{l}\frac{dz}{dx}=2x+2y\frac{dy}{dx}\\ 1+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}=0\end{array}$

消去 $\frac{dy}{dx}$ 即得 $\frac{dz}{dx}$。

---

关键词汇总

情形	公式
$F(x,y)=0$ → $y(x)$	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$
$F(x,y,z)=0$ → $z(x,y)$	$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
方程组 → $y(x),z(x)$	两边对 $x$ 求导，解线性方程组
雅可比行列式	$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}=\left|\begin{array}{cc}{F}_y& F_z\\ G_y& G_z\end{array}\right|$
存在条件	$F_z\ne 0$（单方程），$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}\ne 0$（方程组）