§8.5 多元复合函数求导法则（链式法则）

概述

对于抽象复合函数（ $f$ 无具体表达式），需要用链式法则。这是期末与考研必考题。关键是画出变量关系图。

抽象函数记号约定：

$f_{1}^{'}$ 或 $f_{x}^{'}$ ：对第一个位置变量求偏导
$f_{2}^{'}$ 或 $f_{y}^{'}$ ：对第二个位置变量求偏导
$f_{11}^{''}$ ：对第一个位置变量求两次偏导
$f_{12}^{''}$ ：先对第一个再对第二个

§8.5.1 三种复合情形与链式法则

情形一：多元与一元的复合（全导数）

$z = f (u, v)$ ， $u = φ (x)$ ， $v = ψ (x)$ ，则 $z = f (φ (x), ψ (x))$ 是 $x$ 的一元函数：

$\frac{d z}{d x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{d u}{d x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{d v}{d x}$

或称全导数。

推论（中间变量多于两个）： $\frac{d z}{d x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d x} + \frac{\partial z}{\partial w} \frac{d w}{d x}$

例1： $z = x^{2} - y^{2}$ ， $x = sin t$ ， $y = cos t$ ，求 $\frac{d z}{d t}$

$\frac{d z}{d t} = 2 x cos t - (- 2 y) (- sin t) = 4 sin t cos t = 2 sin 2 t$

例2（抽象函数）： $z = f (sin t, cos t)$ ， $f$ 可微，求 $\frac{d z}{d t}$

$\frac{d z}{d t} = f_{1}^{'} \cdot cos t + f_{2}^{'} \cdot (- sin t) = cos t \cdot f_{1}^{'} (sin t, cos t) - sin t \cdot f_{2}^{'} (sin t, cos t)$

特殊情形： $x$ 既是自变量又是中间变量 $z = f (u, x), u = φ (x) ⟹ \frac{d z}{d x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{d u}{d x} + \frac{\partial f}{\partial x}$

例： $z = f (t^{2}, t)$ ， $\frac{d z}{d t} = f_{1}^{'} \cdot 2 t + f_{2}^{'}$

最简情形： $z = f (x, x)$ → $\frac{d z}{d x} = f_{1}^{'} (x, x) + f_{2}^{'} (x, x)$

情形二：多元与多元的复合

$z = f (u, v)$ ， $u = φ (x, y)$ ， $v = ψ (x, y)$ ，则：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

例3： $z = f (x y, x + y)$ ， $f$ 可微，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = y f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = x f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$

注：当 $x$ 同时是自变量和中间变量时： $z = f (u, x, y)$ ， $u = φ (x, y)$ $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial x}$

例4： $z = f (y sin x, x)$ ， $\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot y cos x + f_{2}^{'}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = f_{1}^{'} \cdot sin x$

情形三：一元与多元的复合

$z = f (u)$ ， $u = φ (x, y)$ ，则：

$\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$

例5： $z = f (x^{2} + y^{2})$ ， $f$ 可微，求偏导数

$\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} \cdot 2 x$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} \cdot 2 y$

§8.5.2 复合函数的高阶偏导数（核心难点）

关键提醒

$f_{1}^{'}$ （或 $f_{u}^{'}$ ）仍然是复合函数，与 $f$ 有相同的复合结构**！求二阶导时不能遗漏对 $f_{1}^{'}$ 再使用链式法则。**

典型例题

例6： $z = f (x y, x + y)$ ， $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = y f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$

$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y f_{1}^{'} + f_{2}^{'}) = f_{1}^{'} + y (f_{11}^{''} \cdot x + f_{12}^{''} \cdot 1) + (f_{21}^{''} \cdot x + f_{22}^{''} \cdot 1) = f_{1}^{'} + x y f_{11}^{''} + (y + x) f_{12}^{''} + f_{22}^{''}$

例7： $z = f (x y, \frac{y}{x})$ ，求二阶偏导 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}, \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}, \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = y f_{1}^{'} - \frac{y}{x ^{2}} f_{2}^{'}$ $\frac{\partial z}{\partial y} = x f_{1}^{'} + \frac{1}{x} f_{2}^{'}$

$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = y^{2} f_{11}^{''} - \frac{2 y ^{2}}{x ^{2}} f_{12}^{''} + \frac{y ^{2}}{x ^{4}} f_{22}^{''} + \frac{2 y}{x ^{3}} f_{2}^{'}$

例8： $z = x^{3} f (x y, \frac{y}{x})$ ，求二阶偏导

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3 x^{2} f + x^{3} (y f_{1}^{'} - \frac{y}{x ^{2}} f_{2}^{'}) = 3 x^{2} f + x^{3} y f_{1}^{'} - x y f_{2}^{'}$

§8.5.3 全微分形式不变性

性质：无论 $u, v$ 是自变量还是中间变量， $z = f (u, v)$ 的全微分形式不变： $d z = \frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v = f_{u}^{'} d u + f_{v}^{'} d v$

应用方法：逐层微分

对复合函数，直接从外层向内层逐层微分：

$z = f (u, v)$ ， $u = φ (x, y)$ ， $v = ψ (x, y)$

$d z = f_{u}^{'} d u + f_{v}^{'} d v = f_{u}^{'} (u_{x} d x + u_{y} d y) + f_{v}^{'} (v_{x} d x + v_{y} d y)$

然后合并 $d x, d y$ 的系数即得 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 。

例9： $F (x, y, z) = 0$ 确定 $z = z (x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$

$d F = F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z = 0$ ，解得 $d z = - \frac{F _{x}}{F _{z}} d x - \frac{F _{y}}{F _{z}} d y$

故 $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}}$

四、齐次函数的欧拉定理

若 $f (t x, t y, t z) = t^{k} f (x, y, z)$ （ $k$ 次齐次函数），则：

$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = k f$

关键词汇总

情形	公式
多元→一元（全导数）	$\frac{d z}{d x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d x}$
多元→多元	$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$
一元→多元	$\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (u) \frac{\partial u}{\partial x}$
全微分不变性	$d z = f_{u}^{'} d u + f_{v}^{'} d v$ （无论 $u, v$ 是否为中间变量）
隐函数求导	$F (x, y, z) = 0 ⟹ \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}}$
欧拉定理	$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = k f$ （ $k$ 次齐次）
关键技巧	$f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍是复合函数，二阶导需再次链式法则

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