§8.4 全微分

知识回顾：一元函数的微分

若 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微。

$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$

可微 $⟺$ 可导（一元函数独有特性！）

几何意义：可微时，在其附近曲线可用切线近似代替。

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§8.4 全微分的定义

设 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 存在，若函数在 $P_0$ 处的全增量：

$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$

可表示为：

$\Delta z=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$

其中 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，则称 $f$ 在 $P_0$ 处可微。

全微分记为：

$dz=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y$

由于 $dx=\Delta x,dy=\Delta y$，常写成：

$dz=f_x^{\prime }dx+f_y^{\prime }dy=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

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连续、偏导、可微的关系 ⭐（核心考点）

        偏导数连续
            ⇓ (充分条件)
         可  微
        ⇙     ⇘
  偏导存在       连续

关系	是否成立	说明
可微 → 连续	✅ 成立	定理1
可微 → 偏导存在	✅ 成立	定义可知（必要条件）
偏导存在 → 可微	❌ 不成立	反例见下
连续 → 可微	❌ 不成立	一元函数连续不一定可导，多元同理
偏导连续 → 可微	✅ 成立	定理3（充分条件，最常用）

核心区别：一元函数中可微 $⟺$ 可导，而多元函数中两者不等价。

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可微的判定方法（重要）

定理3（充分条件）

若 $f_x^{\prime }(x,y)$ 和 $f_y^{\prime }(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。

此定理常作为条件直接使用。

判定可微性的标准步骤

Step 1：求出 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 和 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ → 若不存在，则不可微

Step 2：验证下式是否为 0：

${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta z-[f_x^{\prime }\Delta x+f_y^{\prime }\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$

若该极限 $=0$，则可微；否则不可微。

等价形式： ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0$

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典型例题

例1（重要）：讨论可微性

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$

讨论在 $(0,0)$ 的可微性。

解：

Step 1：$f_x^{\prime }(0,0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=0$，同理 $f_y^{\prime }(0,0)=0$

Step 2：验证

${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta z-[0\cdot \Delta x+0\cdot \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}={\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$

令 $\Delta y=k\Delta x$，得 $\frac{k}{1+k^2}$ → 随 $k$ 变化，极限不存在

∴ 不可微。

例2：全微分计算

$z=x^{2}y$，求 $dz$。

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=2xydx+x^{2}dy$

例3（考研型）

若 $a{x}^2{y}^{2}dx-2x^{3}ydy$ 为某个二元函数的全微分，求 $a$。

利用混合偏导相等的条件：$f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }$，比较系数可得 $a$。

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关键词汇总

概念	公式
全微分	$dz=f_x^{\prime }dx+f_y^{\prime }dy$
可微定义	$\Delta z=f_x^{\prime }\Delta x+f_y^{\prime }\Delta y+o(\rho )$
可微必要条件	偏导数存在
可微充分条件	偏导数连续
可微判定极限	$\lim \frac{\Delta z-(f_x^{\prime }\Delta x+f_y^{\prime }\Delta y)}{\rho }=0$
关系链	偏导连续 → 可微 → (连续 + 偏导存在)