§8.1 多元函数的基本概念与极限

概述

以二元函数为主——从一元到二元产生质变（新问题），从二元到三元以上只是量变（直接类推）。

• 一元函数微分学 $\stackrel{\text{推广}}{\to }$ 多元函数微分学
• 「函数」一词由清朝数学家李善兰翻译自 “function”——“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”
• 1673年莱布尼兹首次使用 “function” 一词

为什么要先讲平面点集？ 函数的性质与定义域紧密相关。一元函数的定义域只是区间，而二元函数的定义域是平面点集，结构复杂得多。

---

§8.1.1 二元函数的基本概念

一、平面点集

二维空间 ${\mathbb{R}}^2$ 的子集称为平面点集。

二、邻域（Neighborhood）

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $Oxy$ 平面上一点，$\delta >0$，则点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域为：

$O(P_0,\delta )=\{(x,y)\mid \sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta \}=\{P\mid |P{P}_0|<\delta \}$

几何意义：以 $P_0$ 为中心、$\delta$ 为半径的圆内部点的全体。

去心邻域：$\mathring{O}(P_0,\delta )=\{P\mid 0<|P{P}_0|<\delta \}$

三、内点、外点、边界点、聚点

设点集 $E$ 及一点 $P$：

类型	定义	归属
内点	存在 $P$ 的某邻域 $O(P)\subset E$	必属于 $E$
外点	存在 $P$ 的某邻域 $O(P)\cap E=\varnothing$	必不属于 $E$
边界点	$P$ 的任意邻域既含属于 $E$ 的点也含不属于 $E$ 的点	可能属也可能不属 $E$
聚点	$P$ 的任意去心邻域 $\mathring{O}(P)$ 含有属于 $E$ 的点	—

注：这三种点（内点、外点、边界点）两两互斥。边界点的全体称为 $E$ 的边界。

聚点的理解——魏尔斯特拉斯聚点定理：有界无穷点集至少有一个聚点。

四、开集、闭集、区域

概念	定义
开集	$E$ 的点都是内点
闭集	$E$ 包含其所有边界点
开区域	开集 + 任意两点可用属于 $E$ 的折线连接
闭区域	开区域 + 其边界
单连通区域	区域内任一闭曲线所围部分都属于该区域
多连通区域	非单连通区域

例：$\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$ 是开区域（单连通）；$\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ 是闭区域。

五、有界集与无界集

若存在正数 $r$，使 $E\subset O(O,r)$（即对于任意 $P\in E$，有 $|PO|<r$），则 $E$ 为有界集，否则为无界集。

六、二元函数

$z=f(x,y),(x,y)\in D$

• $x,y$：自变量
• $z$：因变量
• $D$：定义域
• 值域：$f(D)=\{z\mid z=f(x,y),(x,y)\in D\}$

图形：二元函数 $z=f(x,y)$ 的图形是三维空间中的一个曲面。对任意 $P(x,y)\in D$，以 $(x,y,f(x,y))$ 为坐标确定空间点 $M(x,y,z)$，当 $(x,y)$ 遍取 $D$ 时得到一个空间点集。

---

§8.1.2 二元函数的极限和连续

一、二重极限的定义（$\epsilon$-$\delta$ 定义）

设 $f(x,y)$ 定义域为 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点。若存在常数 $A$，使得：

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{当}0<|P{P}_0|<\delta \text{时},\text{有}|f(P)-A|<\epsilon$

则称 $A$ 为 $f(x,y)$ 在 $P_0$ 点的二重极限，记为：

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A\text{或}{\lim }_{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}f(x,y)=A$

注：$(x,y)\to (x_0,y_0)$ 与 $x\to x_0,y\to y_0$ 不等价！前者要求同时趋于，后者可能理解为先后趋于。

二、与一元函数极限的相同点

1. 唯一性、有界性、保序性 — 与一元函数一致
2. 四则运算法则（和、差、积、商）— 与一元函数类似
3. 夹逼准则 — 类似一元函数： $g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y),\lim g=\lim h=A⟹\lim f=A$

三、与一元函数极限的不同点 ⭐

核心区别：二重极限要求 $P$ 以任何方式趋于 $P_0$ 时函数值都趋于 $A$。

一元函数只需考虑左右两个方向（左极限、右极限），而二元函数 $P$ 可以沿任意路径（直线、曲线……）趋于 $P_0$。

重要结论：

• 若 $P$ 沿某条特殊路径趋于 $P_0$ 时函数趋于某值，不能断定极限存在
• 若沿两条不同路径趋于不同值（或某条路径极限不存在），则可断定极限不存在

四、判定极限不存在的经典反例

例1（必考）：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 点

沿直线 $y=kx$ 趋于 $(0,0)$： ${\lim }_{\begin{array}{c}x\to 0\\ y=kx\end{array}}f(x,y)={\lim }_{x\to 0}\frac{k{x}^2}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$

结果随 $k$ 变化而变化，极限不存在。

例2：$f(x,y)=\frac{x{y}^2}{x^2+y^4}$ 在 $(0,0)$ 点

沿 $y=kx$ 趋于 $(0,0)$，随 $k$ 变化，极限不存在。

例3：证明 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{x+y}{x-y}$ 不存在。

沿 $y=0$：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x}=1$；沿 $x=0$：$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{y}{-y}=-1$。两个不同值 → 极限不存在。

判别技巧：分子分母为齐次式时，极限往往不存在（沿 $y=kx$ 路径检验）。

五、二元函数的连续性

设 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若：

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

则称 $f(x,y)$ 在点 $P_0$ 连续。

若 $f$ 在区域 $D$ 内每一点都连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）以及复合函数仍连续。

---

关键词公式汇总

概念	公式/记号
$\delta$ 邻域	$O(P_0,\delta )=\{P\mid |P{P}_0|<\delta \}$
去心邻域	$\mathring{O}(P_0,\delta )=\{P\mid 0<|P{P}_0|<\delta \}$
二重极限	$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$
连续性	$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$
极限不存在判定	沿 $y=kx$ 路径得不同值（齐次式）
经典反例	$f=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$

---

兴趣题

1. 存在既开又闭的点集吗？
2. 开集的交一定是开集吗？
3. 闭集的并一定是闭集吗？
4. $\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}\cup \{(x,y)\mid y=0,|x|\ge 1\}$ 是开集/闭集？