📝 夔嵬的笔记

微积分-§8.1(3) 偏导数与高阶导数

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微积分-§8.1(3) 偏导数与高阶导数

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  • 来源: §8.1 多元函数2(偏导数与高阶导数）.pdf
  • 页数: 23
  • 整理时间: 2026-05-01

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一、偏导数的定义 二、偏导数的几何意义 三、高阶偏导数 §8.3 偏导数

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0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x y z f x x y f x y z f x y y f x y         概念：偏增量 ， ， ， ， x y 对于二元函数，我们希望通过每个变量对于二元函数的影响，达到 对二元函数整体性质有更加直观的认识. 我们知道，在一元函数研究中导数对函数的性质有举足轻重的作用， 因此我们要研究 和的导数对二元函数性质的影响，但为了与一元函数 区别，称其为偏导数. 0 0 0 0 ( ) ( ) z f x x y y f x y     全 ， ， 增量 §8.3.1 偏导数的定义

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0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x     0 ( ) z f x x  知识回顾：一元函数的导数定义设函数 在点 的某邻域内 有定义，如果极限 0 ( ) z f x x  存在，则称此极限为函数 在点 处的导数，记为 0 0 0 0 d d ( ) ( ) ( ) . d d z f x f x z x x x x x x x     ； ； ；

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0 0 0 ( ) ( ) z f x y P x y x  存在，则称此极限为函数 ，在点 对的偏导 ， 处 数， 记为 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) z f x y P x y y y x x x   定义设函数 ，在点 ， 的某邻域内有定义，把 固定在 ，而 在 处有增量 时，如果极限 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x y f x y x      ， ， 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x x x z f x y f x y x x x          ， ，

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0 1

( ) ( ) ( ) ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). x x x z f x y D x y x f x x y f x y z f x y x f x y z f x y z x y x y f x y x x               定义若函数 ，在区域 内每一点 ， 处的对 偏导数 ， ， 均存在，即 存在，称该极限为函数 ， 的 ，简称为 偏 ，记为 ， ，， ，， ， 导函数 ， 数 ， 偏导 ， xf 2 xf

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( ) ( ).   xy x f x y e f x y 例 设 ， ，求 ， ( ) ( ) ( ) ( )         xy xy xy xy x x y y f x y e ye f x y e xe ， ， ， … x y x 由偏导数定义可知，求对 的偏导数只需把函数中的变量 视为常 量，直接对 使用求导公式即可 故多元初等函数在其定义区域内直接使用求导公式即可

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0 0 0 0 ( ) ( ) | . x x x df x y f x y dx    ， 偏导数性质 ， 3 2 ( ) (1 1) . x f x y x y f   例设 ， ，求 ， 0 0 0 0 ( ) ( ) . ( ) x x f x y f x y x y    偏导数性质 ， ， ， 0 (1 1) (1 1) lim       x f x f x ， ，

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2 2 2 2 2 2 0 ( ) (0 0) (0 0). 0 0              x y xy x y x y z f x y f f x y ， 例设 ， ，求 ，， ， ， ( ). 注 对于 依然 分段点 定义 要使用 讨论考点、 与一元 一样 难点 函数 0 0 0 0 ( ) ( ) | . x x x df x y f x y dx    ， 偏导数性质 ，

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2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 0 x y x y x y z f x y x y            ， 例如 ， ， 注1 多元函数在某点各偏导数都存在，但在该点不一定连续. 偏导数与导数的异同点 ( ) (0 0) ! f x y 前面已证 ，在点，并不连续 ? 问题 这是不是说明偏导数对研究二元函数的性质无用

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注2 函数在某点连续，在该点各偏导数不一定存在.

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( ) (0 0) ( ) ( ) (0 0) lim 1 | | | | (0 0) ?( ) x y x f x y z f x y x y f      ， ， ， 例设函数 ，在 ，连续，且 ， ，存在吗 考研常考题型 0 ( 0) (0 0) (0 0) lim x x f x f f x     ， ， 分析 ， 0 ( 0) lim x f x x   ， ( ) (0 0) ( ) lim 0 (0 0) ? | | | | x x y f x y f x y     ， ， ， 问题若 ， ，存在吗

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0 ( ) .  z f x y 问题：作曲线 ， 的图形 y x z O ( ) z f x y  ， §8.3.2 偏导数的几何意义 0y 0 ( ) . z f x y y y     ， 问题：作曲线 的图形

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0 0 0 0 ( ) ( ) | ( ) ( ) x x df x f x dx y f x x y     导数 的几何意义是表示曲线 上点 ， 处的切线斜率. §8.3.2 偏导数的几何意义 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ). x x x df x y f x y dx z f x y M x y z y y      ， 同理，偏导数 ， 的几何 意义表示曲线 ， 上点 ，， 处 的切线斜率平面 上

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0 1 ( ) ? f x  问题回顾 二阶导数 是怎 定义 么 的 §8.3.3 高阶偏导数 0 2 0 2 ( ) |x x d y f x dx    3 (2) y x y   ， 0 2 ( ) ? f x  问题回顾 二阶导数 是怎 计算 么 的 2 6 |x x  1 sin 0 ( ) ( 3) (0) . 0 0 x x f x f x x       

    ， ，求 ，

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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

( ) ( m ( ) ) ( ) ( ) ( ) lim ( ( li ) ) x x x x x x x y x P x y f x y f x y f x x x f x y f x y y f y x x x               定义若 ， 在点 ， ， 偏导函数 ， ， 的某邻域内 有定义，若极限 ， ， ， ， 0 0 0 ( ) ( ) ( ) z f x y P x y  原 存在，则称此极限为 函数 ， 为 二阶偏 在点 的 导数 ， ， 记 §8.3.3 高阶偏导数 0 0 ( ) xx f x y  ， ， 0 0 2 ( ) | x y f x x   ， ， 0 0 ( ) xx z x y  ， ， 0 0 2 ( ) | . x y z x x   ， 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) xy yx yy f x y f x y f x y    同 ， ， ， ， 理 ，

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2 2 0 ) ( ) . ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) lim ( ) ( ) x x x x x xx x f x y D x y x f x x y f y x y f x f z z x y x x x y x x y x y f x x                定 原 二阶偏 义若偏导函数 ，在区域 内每一点 ， 处的对 偏导数 ， ， 均存在， ， ， 导函数 存 ， ，， 即 在，称其 记 二阶偏导数 为 函数 ， 的 简称为 ， 为 ， ，， ( ) ( ) . yx xy f x y f x y   称 ， ， 二阶混合 为 偏导数 ， 11 12 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x y f x y f x y     ，， ，， ，， ， ( ) ( ) ( ) xy yx yy f x y f x y f x y    同 ， 理 ，， ， ，

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2 2 0 ) ( ) . ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) lim ( ) ( ) x x x x x xx x f x y D x y x f x x y f y x y f x f z z x y x x x y x x y x y f x x                定 原 二阶偏 义若偏导函数 ，在区域 内每一点 ， 处的对 偏导数 ， ， 均存在， ， ， 导函数 存 ， ，， 即 在，称其 记 二阶偏导数 为 函数 ， 的 简称为 ， 为 ， ，， ( ( ) ( ( ) )) x x f x y f x x x y       ， ， ， ，

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.      xy xx yx xy yy z e f f f f 例设 ，求二阶偏导数 ， ， ， 对二元初等函数在其定义域内只需使用求导公式即可，不需使 注 用 定义. (1 2) (1 2). xy xy yx z e f f    例设 ，求二阶偏导数 ，， ， 分段函数在分段点处讨论偏导数需 注 使用定义.

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(0 0) ( ) (0 0) xy x f f x y y   分析 ，是 ，在 ，处对的偏导数.

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( ) ( ) . x y y x f x y f x y   其中 ，， ， 二阶混合 为 偏导数 称 2 2 2 2 2 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x y y x y y f f f f f x y f x y x x x y x x y f f f f f x y f x y x y y x y y y                                     按求偏导顺序不同，有下列四个二阶偏导数 ，； ， ，； ， ( ) ( )? x y y x f x y f x y    问题： ， ， 不一定.

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2 3 3 2 2 ( ) . ( ) 2 ( ) 3 x y z f x y x y f x y xy f x y x y       例如， ， ， ， ， ( ) x y f x y   ， 2 6xy ( ). y x f x y   ， 0 0 ( ) ( ) ( ) x y y x f x y f x y x y   定理 若 ，和 ，都在点 ， 连续，则 . 二阶混合偏导数 连续的 即 在 下与求导 件 次序无关 条 0 0 0 0 ( ) ( ) x y y x f x y f x y    ， ， 注 该定理常作为一个条件使用. 2 ( ) 6 ( . ) x y f x y xy f x y ax a     例 ， ， ， ，求

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2 2 u x     2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 14 0 0. u u x y z u u u x y z               拉 例 证明方程 满足 ： ， 普 程 即 拉斯方

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2 2 2 2 2 2 0. u u u x y z          将以上三式相加得 2 2 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ( ) ( ) u y y x y z x y z         同理 2 2 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ( ) ( ) u z z x y z x y z        

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