微积分-§8.1(2) 多元函数的极限与连续
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- 来源: §8.1 多元函数1（求极限、连续） 2.pdf
- 页数: 12
- 整理时间: 2026-05-01
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二元函数求极限的方法 1. ( ). 通过 求极限或等价 元 无穷小直 数 接推 换 转化 一 广 元 了解 为 函 ( ) (0 0) sin( ) lim . x y x y x y ， ， 例求极限 1 ( ) (0 2) lim (1 sin ) . xy x y xy ， ， 例求极限
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) 2 )( . ( 利用夹逼准则求极限预先需计 重要 算出 限 ：考点 极 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim | ( ) | 0 x y x y x y x y f x y A f x y A ， ， ， ， ， ， 0 | ( ) | ( ) f x y A g x y ， ， 0 0 0(( ) ( )) x y x y ， ， 2 2 ( ) (0 0)
lim . x y xy x y ， ， 例求极限
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求二元函数极限的常见两种错误 cos 1 sin x r y r ! ! 错误 令 转化为极坐标求极限，即 ( ) (0 0) 0 cos sin lim lim 0. cos sin x y r xy r x y ! ! ! ! ， ， 例如， 2 y x kx 2 2 2 ( ) (0 0) lim x y x y x y ， ， 例如，
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( ( ) ) 二次累次极限 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 lim ( ) lim lim ( ). x y x y x x y y f x y f x y ， ， 错误： ， ， 0 0 lim lim ( ) x y f x y ， 0 ， x y O ( ) x y ， . . 当然如果它们都存在，则三者一定 作用：在使用夹逼准则时，可以通过 等 二次极限先求出 相 极限值 求二元函数极限的常见两种错误
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二元函数的连续性 0 0 0 ( ) ( ) . f x y P x y 函数 ， ， 则 在点 连续 称 0 0 0 0 ( ) ( )
lim ( ) ( ) x y x y f x y f x y ， ， ， ， 0 0 0 3 ( ) ( ) . f x y P x y 定义 设函数 ， 在点 ， 的某邻域内有定义如果 0 0 0 0 ( ) (0 0) ( ) ( )
lim 0( ) x y z f x x y y f x y z ， ， ， ， 等价形式：
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( ) ( ) ( ) . f x y D f x y D f x y D 如果函数 ，在区域 的每一点都连续，那么称函数 ， 在区域 内连续，或者称 ，是 内的连续函数 ( ) . f x y 若在边 称 ，是闭区域上 界点 的连 上也连续， 续函数 则
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2 2 2 2 ( ) (0 0) ( ) ( ) 0 ( ) (0 0) . 5 x y xy x y f x y f x y x y x y 例 ，， ， 设 ， ，试证明 ，在 ， ， ， 原点处连续
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相同点1 一元连续函数的运算性质及复合函数的连续性定理对二元 函数也成立. 2 ( ) . 相同点 与一元初等函数类似， 由常数及不同自变量的 一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到在其定义区域 内 故多元初等函数在其定义区域内任意点处的 . 多元初等函数 均是连续的 极限值等于其函 数值 二元函数与一元函数连续的相同点
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(2) ( ) f P D M m 在 上可取得最大值 及最小值 ； (有界性定理) (最值定理) 相同点3 在有界闭区域上的二元连续函数有着与闭区间上的一 元连续函数类似的如下性质: ( ) f P D 若 在有界闭域 上 定理 连续，则
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2 0 2 2 ( ) (0 0) sin 2 (2) lim . x y x y t dt x y ， ， 例 求 2 0 2 0 sin lim x x t dt x 分析
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142 ln(1 ) 0 ( )
0 . xy x P f x y x y x ， 七、求 ， 的定义域，并讨论 ， 其连续性 x y O 0P 0P 0 0 0 1 0 ( ) ( ) . P x y D f x y P 当 ， 时，由初等多元函数的连续性易知 ， 在 处连续 0 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) (0 ) . P x y D x f x y f y y 当 ， 时，即 ，且 ， ， 0 ( ) (0 ) lim ( ). x y y f x y ， ， 下求 ，
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142 ln(1 ) 0 ( )
0 . xy x P f x y x y x ， 七、求 ， 的定义域，并讨论 ， 其连续性 x y O 0P