微积分-§8.1(1) 多元函数的概念与极限
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- 来源: §8.1 多元函数1（概念、极限).pdf
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- 整理时间: 2026-05-01
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- 函数概念出现的很晚，直到十七世纪在伽俐略的一著作中才出现
- 函数的性质与定义域有紧密的联系例如对于一元函数
- 那么对于二元函数的定义域，我们能不能也使用描述性定义呢与开
- §8.1.1 二元函数的基本概念
- 例如，
- 例如，点集
- 称为函数的定义域
- ，的定义域为
- §8.1.2 二元函数的极限和连续
- ，定义
- 的定义域为
- 、多元函数的极限运算法则和差积商与一元函数类似.
- 特别需要注意的是，二重极限存在，是指
- 例函数
- 例函数
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第八章多元函数微分学 我们以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生新 的问题(质变)，而从二元函数到二元以上的多元函数则可以直接 类推(量变). 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 什么是函数，什么是一元函数、多元函数?
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function 函数一词是由清朝数学家李善兰将“ ”翻译而来的， “凡此变 数中函彼变数者，则此为彼之函数”. 函数的历史 . 1637 17 . 函数概念出现的很晚，直到十七世纪在伽俐略的一著作中才出现 年前后笛卡尔在他的解析几何中，虽然已注意到一个变量对另一个 变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念. 因此直到 世纪 后期，牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义 1673 ( )
. function 年，莱布尼兹首次使用“ ”函数，与此同时，牛顿在微 积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系 …
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? 问题在研究二元函数时为什么首先要介绍平面点集的相关知识 2 . (0 1) [0 1] . y x x x 函数的性质与定义域有紧密的联系例如对于一元函数 ，当 ， 时，函数没有最值，当 ，时，函数有最值故在研究函数性质之前首先需 考察定义域的性质. ( ) ] . a b a b 而一元函数的定义域对我们而言非常简单. 形如 ，称为开区间；[ ， 称为闭区间， 一般数轴上点集的结构十分复杂.
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? ? 那么对于二元函数的定义域，我们能不能也使用描述性定义呢与开 区间、闭区间对应的平面点集怎么描述呢 ? . . 这就必须引入内点、外点、边界点及聚点，那么这些点又如何定义呢 这就需要引入 这个重要概念进行刻画同样我们这里只是介绍了两个 特殊的平面点集：开区域与闭区域同样对一般平面点集的性质，《实变函数 邻域 》 上有介绍.
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§8.1.1 二元函数的基本概念 平面点集 2 ( ) R 二维空间记为 的子集称为平面点集. 0 0 0 0 0 0 0 ( ) . ( ) ( )( ( )) P x y Oxy P P x y P O P δ U P δ 设 ， 是 平面上的一个点，是一正数与点 的 小于的点 ，的全体，称为点 的 ，记作 ， ， 邻域 距离 邻域 ，即 2 2 0 0 0 0 ( ) {( ) | ( ) ( ) } { || | } O P δ x y x x y y δ P PP δ < < ， ， 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . O P Oxy P x y P x y 几何上， ，就是 平面上以点 ， 为中心，为半径的 圆内部的点 ，的全体 o 0 0 0
( ) { | 0 } < < P O P δ P PP δ 点 的 记为 ， 去心邻域 .
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E P E P 设有点集 及一点 ， (1) ( ) P O P E P E 若 点 的某邻域 ， 存在 则称 为的内点； (2) ( ) P O P E P E 若 点 的某邻域 ，则称 在 为 存 的外点； 内点、外点、边界点、聚点 (3) ( ) . . P O P E E P E E 若对点 的 邻域 既含有属于 的点也含有不属于 的 点，则称为 的 边界点的全体称 任意 点 为 界 的 边 边界 . . E E E E E E E 注 这三种点是两两互斥的，的内点必属于，的外点必不属于 的边界点可能属于，也可能不属于
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(4) ( ) . o P O P E P E 若对点 的 去心邻域 含有属于 的点，则称 为 意 的 任 聚点 内点、外点、边界点、聚点 E P 设有点集 及一点 ， E P sin( ) ( ) x y f x y x y 例如， ， (0 0) . ，为函数定义域的聚点 ( ) . ( ) 了解 聚 理 有界无 特 穷点 理 集 尔 至 魏 少 斯 有 施 一 原 拉 定 个聚点 点 1 1 {( )} n n ，
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E 开集、闭集、(开)区域及闭区域、单连通、多连通区域 若点集E 的点都是内点，则称E 为开集； 若点集E包含其所有边界点，则称E 为闭集； 。 。 . . E E E E 设 是开集，中任意两点都可用属于的折线连接起来，称 为 开区域加上其 开区域 闭 称为 区域 边界 2 2 2 2 {( )| 1} {( )| 1}. x y x y x y x y < 例如，点集 ， ， ， E E E 区域 内任一闭曲线所围的部分都属于 ， 称 为单连通区域；否则称为多连通区域. 2 2 {( )| 1} . x y x y < 例如，点集 ， 是单连通区域
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则称E 为有界集，否则称为无界集. | | ( ) PO r E O O r < ，即 ，， 有界集、无界集 E r P E 对于平面点集 ，如果存在某一正数，对于任意的点 ，有
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. x y z D 自变量 因变量 ，称为 ，称为 ，点集 称为函数的定义域 ( ) f f D 函数值的全体构成的集合称为函数 ，记作 值域 的 ，即 ( ) { | ( ) ( ) }. f D z z f x y x y D ，，， 二元函数
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( ) . z f x y 这个点集称为二元函数 ，的图形 ( ) . ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) z f x y D P x y D z f x y x y z f x y M x y z x y D 设函数 ，的定义域为 对于任意取 定的点 ， ，对应的函数值为 ， 这样，以为 二元函数的图形 横坐 标，为纵坐标， ， 为竖坐标在空间就确定一点 ，， 当 ，遍取 上一切点时，得到一个空间点集. x y z O D ( ) P x y ，
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0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . z f x y x y x y P x y P x y 讨论二元函数 ，当 ， ， ，即点 ， ， 时函数值的变化趋势 §8.1.2 二元函数的极限和连续 0 ( ) ( ) f x A x x 知识回顾 一元函数 ( ) 描述性定义：柯西 0 ( ) . x x f x A 无限接近 与 的距离任意小 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . P x y P x y f x y A ， 无限接近 ， ， 与 的距离任意小 ( ) 严格定义：威尔斯特拉斯
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0 0 ( ) ( ) ( )) ( f x y x y x y A ， ， ， 0 0 0 0 | | | ( ) |
< < < PP f P A 对 ， ，当 时，有 ( ) ，定义 sin ( ) x f x x 例如， sin( ) ( ) x y f x y x y 例如， ， 0 0 0 0 | | | ( ) | x x f x A
< < < 对 ， ，当 时，有 . 0 ( ) ( ) f x A x x ?
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0 0 0 0 2 ( ) ( ) . 0 ( ) | ( ) | ( ) . o f x y D P x y D A P O P f P A f x y D A ε
< 聚 定义 设函数 ， 的定义域为 ， ， 是 的 如果 存在常数 ，对于 ，存在正数，当 ， 有 点 时， ， 0 0 0 ( ) ( ) ( ) A f x y D P x y 则称 为函数 ，在其定义域 内 二重极 点 ，的 限，记为 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x y x y P P f x y A f x y A ， ， ， 或 ， ， 0 0 lim ( ) . x x y y f x y A ， 0 0 0 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) f x y A x y x y f P A P P ， ， ， 或 . 0 0 0 0 ( ) ( ) ? x y x y x x y y 注 ， ， 与 ， 等价吗 不等价
. 注使用定义证明极限不做要求，重点是求极限
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0 0 lim ( ) 0 0 0 | | ( ) . 2 P P A f x y A PP f x y
< <
若 ， ，则存在 ，当 时， ， 1 . 、二元函数的极限与一元函数一样，也具有：唯一性、有界性、保序性 2 ( ) 、多元函数的极限运算法则和差积商与一元函数类似. 二元函数与一元函数极限的比较：相同点 3 ( ) ( ). 、多元函数的极限存在准则夹逼准 考 则与一元函 点 数类似 0 0 0 0 0 0 (1) ( ) ( ) ( ) lim ( ) (2) lim ( ) lim ( ) x x x x x x y y y y y y g x y f x y h x y f x y A g x y A h x y A ， ， ， ， ， ， ，
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二元函数与一元函数极限的比较：不同点 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) . . P x y P x y f x y A x x f x A 特别需要注意的是，二重极限存在，是指 ， 以 趋于 ， 时， ，都与 的距离任意小而一元函数的极限存在，是 指点 只需沿 趋于 ， 都与 的距离任意小即可 故 一元函数存在左、右极限概念，而二元函数不存 任何方式 左右两个 在单侧极 方 限概念 向 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . P x y P x y f x y A 因此，若 ，以 ，例如沿着一条定直线或定曲线 趋于 ， 时，即使 ，都与某一确定值 的距离任意小，我们 还不能断定函数的极 某一特殊方 限存在 式 0 ( ) . f x y P 当然，若 ，在 的极限存在，可以通过取一特殊方式 来求得 知 此极限 已
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2 2 2 2 3 ( 0) (0 0) ( ). ( ) 1 xy f x y x x y y 例函数 在点 ，的极限不 考点 存在 ， 2 2 2 2 0 0 lim ( ) lim x x y kx kx f x y x k x ， ( ) (0 0) . f x y 故 ， 在 ，点极限不存在 则有 2 . 1 k k
( ) (0 0) P x y y k x 解设 ，沿直线 趋于点 ，， 1 . 注 该函数很重要，常作为反例应用 0 0 0 ( ) ( ) P x y P x y 当点 ，沿不同曲线趋于 ， 时，函数趋于不同值 或有的极限不存在，则可以断定函数极限 性质 不存在. 2 . 注 分子与分母如果是齐次则极限均不存在
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2 4 ( ) (0 0) . xy f x y y x 例函数 ， 在点 ，的极限不存在 2 4 2 0 0 lim . x y x y x y 例 证明极限 不存在
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2 2 2 2 1 1 (1) ? (2) ? (3) ? 1 1 (4) {( ) | 1 } ? {( ) | 1 } ? n n x y x y x y x y n n < 兴趣题: 存在既开又闭的点集吗 开集的交一定是开集吗 闭集的并一定是闭集吗 ， ， ，