§9.3 三重积分及其计算（直角坐标）

🏔️ 直觉地图

二重 → 三重：维度的又一次跃迁

	二重积分 ∬	三重积分 ∭
区域	平面区域 $D$	空间区域 $\Omega$
微元	面积 $d\sigma =dxdy$	体积 $dv=dxdydz$
几何意义	曲顶柱体体积	四维超体积（无直观几何）
物理意义	薄片质量	立体质量

🎯 计算的本质：三重积分 = 把三重积分”拆”成一次定积分 + 一次二重积分。

方法	口诀	适用场景
投影法	先一后二	先对 $z$ 积分（最内层），再在 $xy$ 投影面上做二重积分
截面法	先二后一	先对截面 $(x,y)$ 做二重积分，再对 $z$ 积分

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一、知识整合

§9.3.1 三重积分的概念

引例：空间物体的质量

物体占空间闭区域 $\Omega$，密度 $\rho (x,y,z)$ 连续，求质量 $M$。

四步法：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限

$$M=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\rho ({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta v_k$$

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🎯 三重积分的定义

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta v_k}$$

其中 $\lambda$ 为小区域直径的最大值，定义中的分割和取点均为任意。

• $dv$ — 体积微元；在直角坐标系中 $dv=dxdydz$
• 几何意义：四维超体积；物理意义：空间物体质量 $M={\iiint }_{\Omega }\rho dv$

💡 可积的充分条件：$f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上连续（或分片连续）。

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性质（与二重积分类似，关注新增的对称性）

性质	公式
体积公式	${\iiint }_{\Omega }1dv=V(\Omega )$（常逆用）
中值定理	${\iiint }_{\Omega }fdv=f(\xi ,\eta ,\zeta )\cdot V(\Omega )$
长方体+分离变量	${\iiint }_{[a,b]\times [c,d]\times [e,f]}{f}_1(x)f_2(y)f_3(z)dv=({\int }_a^b{f}_1)({\int }_c^d{f}_2)({\int }_e^f{f}_3)$

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🎯 对称性质（三重新增重点）

1) 关于 $xOy$ 面对称（看 $z$ 的奇偶性）：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=\{\begin{array}{ll}0,& f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\text{(关于 z 奇)}\\ 2{\iiint }_{{\Omega }_1}f(x,y,z)dv,& f(x,y,-z)=f(x,y,z)\text{(关于 z 偶)}\end{array}$$

同理推广至 $yOz$ 面、$xOz$ 面对称。

2) 球体上的轮换对称性（球域 $x^2+y^2+z^2\le R^2$）：

$${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv$$

由此：

$${\iiint }_{\Omega }(ax+by+cz{)}^{2}dv=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv$$

3) 四面体上的轮换对称性（$x,y,z\ge 0,x+y+z\le 1$）：

$${\iiint }_{\Omega }xdv={\iiint }_{\Omega }ydv={\iiint }_{\Omega }zdv=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x+y+z)dv$$

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🎯 §9.3.2 直角坐标计算：投影法（先一后二）

方法思想

将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面得 $D_{xy}$，先对 $z$ 积分（从下曲面到上曲面），再对 $(x,y)$ 做二重积分。

区域表示（XY 型）：

$$\Omega :\{\begin{array}{l}{z}_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\\ (x,y)\in D_{xy}\end{array}$$

⚠️ 如何确定 $D_{xy}$？联立两曲面方程消去 $z$，得投影柱面方程，其在 $z=0$ 上的截线围成的区域即为 $D_{xy}$。

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投影法公式

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]dxdy}$$

💡 本质：先做关于 $z$ 的定积分（$x,y$ 当常数）→ 结果化为关于 $(x,y)$ 的二重积分 → 再按 §9.2 方法计算。

特殊情况（可直接化三次积分）： 若 $D_{xy}$ 也是矩形区域，则：

$${\iiint }_{\Omega }fdv={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}dy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}fdz$$

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判定交线投影的标准流程

以 $z=x^2+y^2$ 与 $z=3-4x^2-2y^2$ 为例：

1. 联立两方程消去 $z$：$x^2+y^2=3-4x^2-2y^2$
2. 得 $5x^2+3y^2=3$ → 投影柱面
3. 令 $z=0$ → 投影曲线（交线在 $xOy$ 面的投影）
4. 投影区域：$D_{xy}:5x^2+3y^2\le 3$

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🎯 §9.3.3 直角坐标计算：截面法（先二后一）

适用条件

⚠️ 选取截面法的典型情形：被积函数仅与 $z$ 有关 + 截面规则（圆、椭圆等）

方法思想

用平行于 $xOy$ 面的平面 $z=\text{const}$ 截 $\Omega$，得截面 $D_z$。先对截面做二重积分，再对 $z$ 积分。

区域表示：

$$\Omega :\{\begin{array}{l}a\le z\le b\\ (x,y)\in D_z\end{array}$$

截面法公式

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_a^b\left[{\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy\right]dz}$$

若 $f$ 仅与 $z$ 有关：

$${\iiint }_{\Omega }f(z)dv={\int }_a^{b}f(z)\cdot \text{Area}(D_z)dz$$

💡 关键：${\iint }_{D_z}1dxdy=\text{Area}(D_z)$ — 截面面积。若截面是圆 $x^2+y^2\le R(z{)}^2$，则面积 = $\pi R(z{)}^2$。

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📇 闪卡速记

三重积分的定义式？

${\iiint }_{\Omega }fdv={\lim }_{\lambda \to 0}\sum f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta v_k$

直角坐标下体积微元？

$dv=dxdydz$

投影法（先一后二）公式？

${\iiint }_{\Omega }fdv={\iint }_{D_{xy}}[{\int }_{z_1}^{z_2}fdz]dxdy$

截面法（先二后一）公式？

${\iiint }_{\Omega }fdv={\int }_a^b[{\iint }_{D_z}fdxdy]dz$

投影法如何确定 $D_{xy}$？

联立两曲面方程消去 $z$ → 投影柱面 → 令 $z=0$ 得投影区域

截面法适用条件？

被积函数仅与 $z$ 有关 + 截面规则（圆/椭圆等）

截面法 $f(z)$ 情况下的简化？

${\iiint }_{\Omega }f(z)dv={\int }_a^{b}f(z)\cdot \text{Area}(D_z)dz$

$xOy$ 面对称，$f$ 关于 $z$ 奇 → 积分？

0（奇零）

球域 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 的轮换性？

$\iiint x^{2}dv=\iiint y^{2}dv=\iiint z^{2}dv=\frac{1}{3}\iiint (x^2+y^2+z^2)dv$

四面体 $x,y,z\ge 0,\; x+y+z\le 1$ 的轮换性？

$\iiint xdv=\iiint ydv=\iiint zdv$

何时直接用三次积分？

投影区域 $D_{xy}$ 是矩形区域时

三重积分中值定理？

${\iiint }_{\Omega }fdv=f(\xi ,\eta ,\zeta )\cdot V(\Omega )$

长方体 + 分离变量？

$\iiint f_1(x)f_2(y)f_3(z)dv=(\int f_1)(\int f_2)(\int f_3)$

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🧪 自测题

A组：基础概念

A1. ${\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le 1}1dv$ 等于： A. 1 B. $\frac{4}{3}\pi$ C. $4\pi$ D. $\frac{4}{3}\pi R^3$

A2. 投影法”先一后二”的含义是先做二重积分，后做定积分。

A3. 截面法”先二后一”的适用条件是： A. 被积函数仅与 $x$ 有关 B. 被积函数仅与 $z$ 有关且截面规则 C. 积分区域是球体 D. 任意情况都适用

A4. 若 $\Omega$ 关于 $xOy$ 对称且 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$，则积分为 0。

A5. 长方体区域 $\Omega :[0,1]\times [0,2]\times [0,3]$ 上，${\iiint }_{\Omega }xyzdv=$ A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{9}{2}$ C. $3$ D. $6$

B组：基本计算

B1. 计算 ${\iiint }_{\Omega }xdxdydz$，$\Omega$ 为三个坐标面及 $x+y+z=1$ 围成的闭区域。

B2. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x+2y+z)dxdydz$，$\Omega$ 同上。

B3. 用截面法计算 ${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz$，$\Omega :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$

B4. 设 $\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=2-x^2-y^2$ 围成，用投影法表示积分 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv$。

$${\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma ={\iint }_D(x-y{)}^{2}d\sigma \text{（对/错）}$$

B5. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=2-x^2-y^2$ 围成。

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\pi r^2}{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}{e}^{x^2+y^2}\sin (x^2+y^2)dxdy$$

C组：综合应用

C1. 计算 $I={\iiint }_{\Omega }(x^2+2y)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=1$, $z=5$, $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 围成。

C2. 计算由 $z=xy$, $x+y+z=1$, $z=0$ 围成的闭区域体积。

C3. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv$，$\Omega$ 由 $x^2+y^2+z^2=2z$ 和 $z=H$（$H>0$）围成。

$${\iint }_{0\le x,y\le 1}(\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$$