§9.3 三重积分及其计算（球面坐标）

🏔️ 直觉地图

球面坐标 = 三重积分中的”极坐标”

就像二重积分遇到圆域用极坐标，三重积分遇到球域/锥面用球面坐标。

坐标	含义	等值面
$r$	点到原点的距离	$r=$ 常数 → 球面
$\phi$	$OP$ 与 $z$ 轴正向的夹角	$\phi =$ 常数 → 圆锥面
$\theta$	$x$ 轴绕 $z$ 轴旋转到投影的角	$\theta =$ 常数 → 过 $z$ 轴的半平面

🎯 核心代价：$dxdydz\to r^2\sin \phi drd\phi d\theta$。被积函数中的 $x^2+y^2+z^2$ 退化为 $r^2$，区域从球变成长方体。

⚠️ 适用范围：球域、半球域、球与圆锥相交。两个球相交 or 球与抛物面相交 → 回直角坐标。

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一、知识整合

球面坐标定义

变量	范围	几何意义
$r$	$0\le r<+\infty$	点到原点 $O$ 的距离
$\phi$	$0\le \phi \le \pi$	$OP$ 与 $z$ 轴正向的夹角（从北极量到南极）
$\theta$	$0\le \theta \le 2\pi$	$x$ 轴正半轴绕 $z$ 轴逆时针转到 $OP$ 在 $xOy$ 面投影的角度

坐标变换

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}}$$

💡 记忆：$z=r\cos \phi$（极轴方向），$x,y$ 的公共因子 $r\sin \phi$（投影到 $xOy$ 面的半径）。

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雅可比行列式与体积微元

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}=\left|\begin{array}{ccc}\sin \phi \cos \theta & r\cos \phi \cos \theta & -r\sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & r\cos \phi \sin \theta & r\sin \phi \cos \theta \\ \cos \phi & -r\sin \phi & 0\end{array}\right|=r^2\sin \phi$$ $$\boxed{dv=dxdydz=r^2\sin \phi drd\phi d\theta }$$

⚠️ $\sin \phi \ge 0$（因为 $0\le \phi \le \pi$），故雅可比取绝对值后即为 $r^2\sin \phi$。

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🎯 球面坐标下的积分公式

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi drd\phi d\theta }$$

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积分次序与限的确定

标准次序：先 $r$ → 再 $\phi$ → 最后 $\theta$

步骤	方法	确定
① $\theta$ 范围	投影法：向 $xOy$ 面投影，区域夹在 $\theta =\alpha$ 与 $\theta =\beta$ 之间	$[\alpha ,\beta ]$
② $\phi$ 范围	夹住法：区域夹在半顶角 $\phi =A$ 与 $\phi =B$ 的锥面之间	$[A,B]$
③ $r$ 范围	穿线法：从原点引射线穿过区域，从 $r_1(\phi ,\theta )$ 穿入，从 $r_2(\phi ,\theta )$ 穿出	$[r_1,r_2]$

$${\iiint }_{\Omega }fdv={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_A^{B}d\phi {\int }_{r_1(\phi ,\theta )}^{r_2(\phi ,\theta )}f\cdot r^2\sin \phi dr$$

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常见区域在球面坐标下的表示

直角坐标	球面坐标
$x^2+y^2+z^2\le R^2$	$0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le \pi ,0\le r\le R$
$x^2+y^2+z^2\le R^2$（上半球）	$0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le \pi /2,0\le r\le R$
锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 下方 + $z\ge 0$	$\pi /4\le \phi \le \pi /2$
锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $R$ 围成	$0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le \pi /4,0\le r\le R$
球 $x^2+y^2+z^2\le 2Rz$	$r\le 2R\cos \phi$（由 $r^2\le 2Rr\cos \phi$ 推得）

💡 从 $z=r\cos \phi$ 和 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 两个关系出发，几乎所有球面坐标不等式都能快速推出。

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偏心球的处理

若球心在 $(a,b,c)$：

$$\{\begin{array}{l}x=a+r\sin \phi \cos \theta \\ y=b+r\sin \phi \sin \theta \\ z=c+r\cos \phi \end{array}$$

雅可比仍为 $r^2\sin \phi$（平移不改变微元）。

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🎯 何时用球面坐标？

✅ 适合	❌ 不适合
积分域为球体、半球	两个球相交
球与圆锥相交	球与旋转抛物面相交
被积函数含 $f(x^2+y^2+z^2)$	被积函数含 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$ 且区域非球对称

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重要公式

球体 $x^2+y^2+z^2\le R^2$：

$${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv=\frac{4}{5}\pi R^5$$

推导：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi {\int }_0^R{r}^2\cdot r^{2}dr=2\pi \cdot 2\cdot \frac{R^5}{5}=\frac{4}{5}\pi R^5$

由轮换对称性：

$${\iiint }_{\Omega }(ax+by+cz{)}^{2}dv=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\cdot \frac{4}{5}\pi R^5$$

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📇 闪卡速记

球面坐标三个变量的范围？

$r\ge 0$, $0\le \phi \le \pi$, $0\le \theta \le 2\pi$

球面坐标变换公式？

$x=r\sin \phi \cos \theta$, $y=r\sin \phi \sin \theta$, $z=r\cos \phi$

球面坐标雅可比行列式？

$|J|=r^2\sin \phi$

球面坐标体积微元？

$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$

球面坐标积分次序？

先 $r$ → 再 $\phi$ → 最后 $\theta$（三步法：投影/夹住/穿线）

全球 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 的球面坐标？

$0\le \theta \le 2\pi$, $0\le \phi \le \pi$, $0\le r\le R$

上半球 $z\ge 0$ 的 $\varphi$ 范围？

$0\le \phi \le \pi /2$

锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $\varphi=$？

$\phi =\pi /4$（因 $r\cos \phi =r\sin \phi$ → $\tan \phi =1$）

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\le R^2} (x^2+y^2+z^2)dv=$？

$\frac{4}{5}\pi R^5$

球面坐标适合哪些区域？

球体/半球/球与圆锥相交；不适合：两球相交/球与抛物面相交

偏心球 $(a,b,c)$ 的变换？

$x=a+r\sin \phi \cos \theta$ 等，$|J|$ 仍为 $r^2\sin \phi$

球面坐标下 $\varphi$ 范围如何确定？

夹住法——区域夹在哪个半顶角范围之间

$x^2+y^2+z^2\le 2Rz$ 的 $r$ 范围？

$r\le 2R\cos \phi$（由 $r^2\le 2R\cdot r\cos \phi$ 得）

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🧪 自测题

A组：基础概念

A1. 球面坐标中 $\phi =0$ 对应的点是： A. $xOy$ 面上的点 B. $z$ 轴正半轴上的点 C. $z$ 轴负半轴上的点 D. 原点

A2. 球面坐标的体积微元是 $rdrd\phi d\theta$。

A3. 全上半球 $x^2+y^2+z^2\le R^2,z\ge 0$ 的球面坐标 $\phi$ 范围是： A. $[0,\pi /4]$ B. $[0,\pi /2]$ C. $[0,\pi ]$ D. $[\pi /2,\pi ]$

A4. 两个球相交的区域适合用球面坐标计算。

A5. ${\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le R^2}(x^2+y^2+z^2)dv$ 的结果是： A. $\frac{4}{3}\pi R^3$ B. $\frac{4}{5}\pi R^5$ C. $4\pi R^5$ D. $\frac{4}{5}\pi R^3$

B组：基本计算

B1. 将区域 $\Omega$ 用球面坐标表示：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 围成的含 $z$ 轴正半轴部分。

B2. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dxdydz$，$\Omega :x^2+y^2+z^2\le R^2$

B3. 用球面坐标将 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv$ 表示为三次积分，$\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 围成。

B4. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)dxdydz$，$\Omega$ 同上题。

$${\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma ={\iint }_D(x-y{)}^{2}d\sigma \text{（对/错）}$$

B5. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x+2y+3z{)}^{2}dv$，$\Omega :x^2+y^2+z^2\le R^2$

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\pi r^2}{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}{e}^{x^2+y^2}\sin (x^2+y^2)dxdy$$

C组：综合应用

C1. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)zdv$，$\Omega$ 为 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ 与 $x^2+y^2+z^2\le 2Rz$ 的公共部分。

C2. 计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dxdydz$，$\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 围成。

C3. 将 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv$ 用球面坐标表示：$\Omega$ 由抛物面 $z=x^2+y^2$ 和球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 围成（上半部分）。

$${\iint }_{0\le x,y\le 1}(\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$$