§9.2 二重积分的计算法 — 直角坐标

🏔️ 直觉地图

核心思想：把二重积分”拆”成两次定积分

二重积分是二维的求和，但人类只会算一维的积分。怎么办？ → 先固定一个变量，对另一个变量积分（内层）→ 再对固定变量积分（外层）

类比	说明
🍞 切面包	先把面包竖着切成一片一片（固定 $x$，对 $y$ 积分求截面面积），再把所有片的面积加起来（对 $x$ 积分）
📐 平行截面法	已知每个 $x$ 处的截面面积 $A(x)$，体积 = $\int A(x)dx$

🎯 为什么学这一节？ 这是整个重积分章的计算核心。后续的极坐标、三重积分、曲面积分全部建立在”化为二次积分”这一基本思想上。

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一、知识整合

§9.2.1 X 型区域（先 $y$ 后 $x$）

🎯 X 型区域的定义

若积分区域 $D$ 可表示为：

$$\boxed{D:a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)}$$

其中 ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

判别法（穿线法）： 用垂直于 $x$ 轴的直线从下向上穿过区域 $D$，与 $D$ 的边界只有两个交点——从 ${\phi }_1(x)$ 穿入，从 ${\phi }_2(x)$ 穿出。

     y = φ₂(x)
    ┌─────────┐
    │    D    │  ← 穿线法：x轴的垂直线从下向上穿过
    └─────────┘
     y = φ₁(x)
    │         │
    a         b

几何推导（平行截面法）

将二重积分 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 理解为曲顶柱体体积：

1. 在 $[a,b]$ 上任取 $x$，过 $x$ 作垂直于 $x$ 轴的平面
2. 截面是以 $[{\phi }_1(x),{\phi }_2(x)]$ 为底、$z=f(x,y)$ 为曲边的曲边梯形
3. 截面面积：$A(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$
4. 体积 = 截面面积对 $x$ 积分：$V={\int }_a^{b}A(x)dx$

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^b\left[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right]dx={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy}$$

⚠️ 积分次序：先对 $y$ 积分（内层），此时 $x$ 视为常量；再对 $x$ 积分（外层）。内层积分限是 $x$ 的函数，外层积分限是常数。

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两步法：投影法 + 穿线法

步骤	操作	得到
① 投影法	将 $D$ 向 $x$ 轴投影	外层积分区间 $[a,b]$
② 穿线法	用垂直 $x$ 轴的直线穿过 $D$	内层积分限 $[{\phi }_1(x),{\phi }_2(x)]$

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§9.2.2 Y 型区域（先 $x$ 后 $y$）

若积分区域可表示为：

$$\boxed{D:c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)}$$

判别法： 用垂直于 $y$ 轴的直线从左向右穿过 $D$，只有两个交点。

则：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^d\left[{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx\right]dy={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx}$$

💡 X 型 vs Y 型的记忆：谁在后面积分，就把区域向谁投影。$x$ 后积分 → 向 $x$ 轴投影（X 型）；$y$ 后积分 → 向 $y$ 轴投影（Y 型）。

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🎯 计算二重积分四步法

步	内容
①	画图！判断积分区域类型（X型 / Y型 / 混合型）
②	用不等式组表示区域（投影 + 穿线）
③	将二重积分转换为二次积分
④	使用牛顿-莱布尼茨公式逐步计算

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⚠️ 交换积分次序（考试重点）

核心原则：当一种积分次序困难时，考虑交换次序。

方法论：

1. 由给定的积分限反推原积分区域 $D$
2. 画出 $D$，改写为另一种类型的不等式组
3. 按新次序重新写出二次积分

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§9.2.3 矩形区域 + 分离变量（特殊情形）

若 $f(x,y)=f_1(x)\cdot f_2(y)$ 且 $D$ 为矩形 $[a,b]\times [c,d]$，则：

$$\boxed{{\iint }_D{f}_1(x)f_2(y)dxdy=\left({\int }_a^b{f}_1(x)dx\right)\cdot \left({\int }_c^d{f}_2(y)dy\right)}$$

💡 本质：内层积分中 $f_1(x)$ 对 $y$ 来说是常数，提到外层 → 二次积分退化为一元定积分的乘积。

证明思路：

$${\iint }_D{f}_1(x)f_2(y)dxdy={\int }_a^b\left[{\int }_c^d{f}_1(x)f_2(y)dy\right]dx={\int }_a^b{f}_1(x)\left[{\int }_c^d{f}_2(y)dy\right]dx=\left({\int }_c^d{f}_2(y)dy\right)\left({\int }_a^b{f}_1(x)dx\right)$$

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📇 闪卡速记

X 型区域的标准形式？

$a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$ → ${\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}fdy$

Y 型区域的标准形式？

$c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)$ → ${\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}fdx$

如何判断 X 型还是 Y 型？

X 型 → 用垂直 $x$ 轴的直线穿（下进上出）；Y 型 → 用垂直 $y$ 轴的直线穿（左进右出）

投影法 + 穿线法分别得到什么？

投影法 → 外层积分限（常数）；穿线法 → 内层积分限（函数）

什么时候需要交换积分次序？

内层积分积不出来（如 $\int e^{-y^2}dy$、$\int \frac{\sin y}{y}dy$ 无初等原函数）

交换次序的方法？

由积分限反推区域 $D$ → 画图 → 改写成另一类型 → 重写二次积分

矩形区域 + 被积函数分离变量？

${\iint }_{[a,b]\times [c,d]}{f}_1(x)f_2(y)dxdy=({\int }_a^b{f}_{1}dx)({\int }_c^d{f}_{2}dy)$

内层积分时外层变量如何处理？

视为常量。先对 $y$ 积分时，$x$ 的一切函数都当常数处理

四步计算流程？

①画图判型 → ②不等式表示 → ③化二次积分 → ④牛顿-莱布尼茨计算

区域非单一类型怎么办？

用 $x=c$（或 $y=c$）将 $D$ 分割为多个子区域，分别计算后相加（可加性）

为什么先对 $y$ 积分的叫 X 型？

因为外层积分变量是 $x$，投影到 $x$ 轴。记法：谁在外层就叫谁型

二次积分的外限必须是常数吗？

✅ 是。外限必须是常数，内限可以是外层变量的函数

混合型区域怎么处理？

用一条分割线切成两块，每块各自为 X 型或 Y 型 → 分别积分 → 相加

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🧪 自测题

A组：基础概念

A1. 区域 $D:0\le x\le 1,x\le y\le 1$ 是： A. X 型区域 B. Y 型区域 C. 既是 X 型又是 Y 型 D. 都不是

A2. X 型区域一定也能表示为 Y 型区域。

A3. 二次积分 ${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}f(x,y)dy$ 的内层积分变量是： A. $x$ B. $y$ C. 两者都是 D. 依 $f$ 而定

A4. ${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1}f(x,y)dy$ 的外层积分限可以是变量。

A5. 区域 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=1$ 围成，作为 X 型区域，$x$ 的范围是： A. $[0,1]$ B. $[-1,1]$ C. $[0,\sqrt{y}]$ D. $[-\sqrt{y},\sqrt{y}]$

A6. 矩形区域上的二重积分，若被积函数可分离变量，则等于两个定积分的乘积。

A7. 二次积分 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x,y)dy$ 交换次序后为： A. ${\int }_0^{1}dy{\int }_0^{y}f(x,y)dx$ B. ${\int }_0^{1}dy{\int }_y^{1}f(x,y)dx$ C. ${\int }_x^{1}dy{\int }_0^{1}f(x,y)dx$

B组：基本计算

B1. 计算 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，其中 $D$ 由 $y=1$, $x=2$, $y=x$ 围成。

B2. 计算 ${\iint }_{D}xyd\sigma$，其中 $D$ 由 $y^2=x$ 和 $y=x-2$ 围成。

B3. 计算 ${\iint }_D\frac{\sin y}{y}dxdy$，其中 $D$ 由 $y=x$, $y=\pi$, $x=0$ 围成。

B4. 交换积分次序并计算：${\int }_0^{1}dx{\int }_x^1{e}^{-y^2}dy$

$${\iint }_D(x+y{)}^{2}d\sigma ={\iint }_D(x-y{)}^{2}d\sigma \text{（对/错）}$$

B5. 设 $D$ 为矩形 $[0,1]\times [0,2]$，计算 ${\iint }_{D}x{e}^{y}dxdy$

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\pi r^2}{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}{e}^{x^2+y^2}\sin (x^2+y^2)dxdy$$

C组：综合应用

C1. 设 $D$ 由 $y=x^2$ 和 $y=x$ 围成，分别按 X 型和 Y 型写出二次积分表达式。

C2. 计算 ${\iint }_D\sqrt{x^2-y^2}dxdy$，$D$ 由 $y=0$, $y=x$, $x=1$ 围成。

C3. 已知 ${\int }_0^{1}f(x)dx=1$，求 $I={\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x)f(y)dy$

$${\iint }_{0\le x,y\le 1}(\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$$

C4. 设 $D$ 由 $xy=1$, $y=x$, $x=2$ 围成，求 ${\iint }_D{e}^{\frac{y}{x}}dxdy$。