§11.3 幂级数（一）— 收敛域

一、函数项级数的基本概念

1.1 定义

设 $u_1(x),u_2(x),\dots ,u_n(x),\dots$ 为定义在区间 $I$ 上的函数，称

${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_n(x)+\cdots$

为定义在区间 $I$ 上的函数项级数。

核心类比：函数项级数就是以 $x$ 为参数的数项级数。

1.2 收敛点与收敛域

对于给定的 $x_0\in I$：

• 若数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 收敛，称 $x_0$ 为收敛点；
• 若数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 发散，称 $x_0$ 为发散点。

所有收敛点的全体称为该级数的收敛域；所有发散点的全体称为该级数的发散域。

1.3 和函数

在收敛域上，级数的和是 $x$ 的函数 $S(x)$，称为和函数：

$S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x),x\in \text{收敛域}$

即 $S(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)$，其中 $S_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x)$ 为部分和。

例：几何级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$：

• 收敛域：$(-1,1)$
• 发散域：$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$
• 和函数：$S(x)=\frac{1}{1-x},x\in (-1,1)$

1.4 求函数项级数收敛域的一般方法

对于函数项级数 $\sum u_n(x)$，利用比值或根值判别法：

设 $\rho (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|$ 或 $\rho (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n(x)|}$，

由 $\rho (x)<1$ 解出 $x$ 的范围，再验证 $\rho (x)=1$ 的 $x$，即得收敛域。

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二、幂级数及其收敛性

2.1 幂级数的标准形式

形如

${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$

的函数项级数称为关于 $x$ 的幂级数。

更一般地，

${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+\cdots$

称为关于 $(x-x_0)$ 的幂级数。

其中常数 $a_0,a_1,\dots ,a_n,\dots$ 称为幂级数的系数。

⚠️ 常见错误：在 $\sum a_n{x}^n$ 中取 $x=0$，则 $\sum a_n{x}^n=a_0$（而不是 $0$）。$n$ 从 $0$ 开始时，首项是 $a_0$。

2.2 Abel 定理

定理（Abel）：若幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 在 $x=x_0\ne 0$ 处收敛，则对满足 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$，该级数都绝对收敛。反之，若该级数在 $x=x_0$ 处发散，则对满足 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$，该级数都发散。

几何直观：沿数轴从原点出发向两侧走——从原点出发，先遇到的全是收敛点，过了某个”界点”之后全是发散点。两个界点在原点两侧，且到原点的距离相等。

  发散 ←———|—————— 收敛 ——————|———→ 发散
         -R       0        R

2.3 收敛半径

设 $R$ 表示”界点”到原点的距离，称为幂级数的收敛半径。由 Abel 定理：

• 当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛；
• 当 $|x|>R$ 时，幂级数发散；
• 当 $|x|=R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散（需单独判断）。

$(-R,R)$ 称为收敛区间，加上收敛的端点即构成收敛域。

两种特殊情形：

情形	$R$	收敛域
只在 $x=0$ 处收敛	$R=0$	$\{0\}$
对所有 $x$ 都收敛	$R=+\infty$	$(-\infty ,+\infty )$

性质：若幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 在 $x=x_0$ 处条件收敛，则 $R=|x_0|$。

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三、收敛半径的求法

3.1 方法一：比值法（系数比值）

设幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 的系数 $a_n\ne 0$，且 $\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 存在（或为 $+\infty$），则

$R=\frac{1}{\rho }$

• 当 $\rho =0$ 时，$R=+\infty$（处处收敛）
• 当 $\rho =+\infty$ 时，$R=0$（仅在 $x=0$ 处收敛）

推导：$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}{x}^{n+1}}{a_n{x}^n}\right|=|x|\cdot \rho <1\Rightarrow |x|<\frac{1}{\rho }$

3.2 方法二：根值法（系数开根号）

设 $\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$ 存在（或为 $+\infty$），则

$R=\frac{1}{\rho }$

• 当 $\rho =0$ 时，$R=+\infty$
• 当 $\rho =+\infty$ 时，$R=0$

3.3 方法三：缺项时直接对 $x$ 用比值法

当幂级数缺少某些次幂的项（如只有偶次幂或只有奇次幂）时，不能直接套用系数比值公式（因为公式分母中 $a_n=0$ 无意义）。

处理方法：

1. 直接法：令 $u_n(x)$ 为通项，直接计算 $\rho (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|<1$，解出 $|x|$ 的范围 → 收敛半径。
2. 间接法（代换法）：做变量代换，如令 $y=x^2$（偶次幂缺奇次项）或 $y=x^{2k}$，化为标准幂级数后求 $R_y$，再换回 $R_x=\sqrt[k]{R_y}$。

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四、完整求收敛域的步骤

对于 $\sum a_n{x}^n$：

1. 求收敛半径 $R$（用比值法或根值法），得收敛区间 $(-R,R)$；
2. 验证端点 $x=-R$ 和 $x=R$（代入，化为数项级数，用数项级数判别法判断敛散性）；
3. 写出收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点。

对于 $\sum a_n(x-x_0{)}^n$ 类型的幂级数：

• 方法一（直接法）：将对称中心由原点换为 $x_0$，收敛区间为 $(x_0-R,x_0+R)$，再验证端点 $x=x_0\pm R$。
• 方法二（间接法）：令 $y=x-x_0$，化为 $\sum a_n{y}^n$ 的标准形式，求出关于 $y$ 的收敛域，再换回 $x$。

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五、手把手例题

例1 求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ 的收敛域

解：

Step 1：求收敛半径。

$a_n=\frac{1}{n}$，用比值法：

$\rho ={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1$

$R=\frac{1}{\rho }=1$

∴ 收敛区间为 $(-1,1)$。

Step 2：验证端点。

• 当 $x=1$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$（调和级数），发散。
• 当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$（交错调和级数，Leibniz 型），条件收敛。

Step 3：写出收敛域。

$\text{收敛域}=[-1,1)$

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例2 求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-1{)}^n}{n\cdot 2^n}$ 的收敛域

解：

Step 1：求收敛半径（用间接法，令 $y=x-1$）。

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{y^n}{n\cdot 2^n}$，系数 $a_n=\frac{1}{n\cdot 2^n}$。

$\rho ={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}}{\frac{1}{n\cdot 2^n}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}$

$R=\frac{1}{\rho }=2$

即 $|y|<2\Rightarrow |x-1|<2\Rightarrow -1<x<3$。

收敛区间为 $(-1,3)$。

Step 2：验证端点 $y=\pm 2$，即 $x=-1$ 和 $x=3$。

• 当 $y=2$（即 $x=3$）：级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$，发散。
• 当 $y=-2$（即 $x=-1$）：级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-2{)}^n}{n\cdot 2^n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}$，交错调和级数，条件收敛。

Step 3：写出收敛域。

$\text{收敛域}=[-1,3)$

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例3 求 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}{x}^{2n}$ 的收敛半径

解：该级数缺少奇次幂项，不能直接套系数比值公式。

方法一（直接法）：

令 $u_n(x)=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}{x}^{2n}$，

\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| &= \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot |x|^2 \\ &= \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \cdot |x|^2 \\ &= \frac{2(2n+1)}{n+1} \cdot |x|^2 \xrightarrow{n\to\infty} 4|x|^2 \end{aligned}$$ 由 $4|x|^2 < 1$ 得 $|x| < \dfrac{1}{2}$，故 $R = \dfrac{1}{2}$。 **方法二（间接法—代换）**： 令 $y = x^2$，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} y^n$，$a_n = \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$。 $$\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+2)!/((n+1)!)^2}{(2n)!/(n!)^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = 4$$ ∴ $R_y = \dfrac{1}{4}$，即 $|y| < \dfrac{1}{4} \Rightarrow |x|^2 < \dfrac{1}{4} \Rightarrow |x| < \dfrac{1}{2}$。 故 $R = \dfrac{1}{2}$。 --- ### 例4（Abel 定理应用题）已知 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x+2)^n$ 在 $x=0$ 处**条件收敛**，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-3)^n$ 的收敛区间。 **解**： 令 $y = x+2$，则 $\sum a_n (x+2)^n = \sum a_n y^n$。 $x=0$ 时 $y=2$，且条件收敛 → 由性质，$R_y = |2| = 2$（条件收敛点处的 $|y|$ 等于收敛半径）。 对 $\sum a_n (x-3)^n$，令 $z = x-3$，系数相同，故 $R_z = R_y = 2$。 关于 $z$ 的收敛区间：$|z| < 2$，即 $-2 < z < 2$。 换回 $x$：$-2 < x-3 < 2 \Rightarrow 1 < x < 5$。 $$\text{收敛区间} = (1, 5)$$ > **注意**：这只是收敛区间（开区间），要求收敛域还需验证 $x=1$ 和 $x=5$ 处的敛散性，但本题只给了条件收敛这一个条件，无法判断端点状态。 --- ## 六、闪卡（Flashcards） <details class="flashcard"> <summary>**：什么是函数项级数的收敛域？</summary> 1**：所有收敛点的全体。对于每个 $x_0$ 在收敛域内，数项级数 $\sum u_n(x_0)$ 收敛。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：幂级数的标准形式是什么？</summary> 2**：$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$ 或 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：Abel 定理的核心结论是什么？</summary> 3**：若幂级数在 $x_0$ 处收敛，则对 $|x| < |x_0|$ 的所有 $x$ 都绝对收敛；若在 $x_0$ 处发散，则对 $|x| > |x_0|$ 的所有 $x$ 都发散。**收敛域以原点为中心的一个区间。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：收敛半径 $R$ 的两条计算公式是什么？</summary> 4**：（1）比值法：$R = 1/\rho$，$\rho = \lim|a_{n+1}/a_n|$；（2）根值法：$R = 1/\rho$，$\rho = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：收敛区间和收敛域的区别是什么？</summary> 5**：收敛区间是 $(-R, R)$（开区间）；收敛域是收敛区间加上收敛的端点。端点 $x = \pm R$ 需单独代入判断。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：$R=0$ 和 $R=+\infty$ 各表示什么？</summary> 6**：$R=0$：只在 $x=0$ 收敛；$R=+\infty$：对所有实数 $x$ 都收敛。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：缺项幂级数怎么求收敛半径？</summary> 7**：不能直接套系数比值公式。**方法一**：直接对通项 $u_n(x)$ 用比值法；**方法二**：做变量代换（如 $y=x^2$）化为标准形式后求。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：条件收敛点与收敛半径有什么关系？</summary> 8**：若幂级数在 $x_0$ 处条件收敛，则收敛半径 $R = |x_0|$。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：求 $\sum a_n (x-x_0)^n$ 收敛域有哪两种思路？</summary> 9**：**直接法**：将中心从原点移到 $x_0$，收敛区间为 $(x_0-R,\ x_0+R)$；**间接法**：令 $y = x-x_0$，化为 $\sum a_n y^n$ 求解后换回。 </details> <details class="flashcard"> <summary>**：求完整收敛域的三个步骤是什么？</summary> 10**：①求收敛半径 $R$ → 得收敛区间；②验证端点 $x = \pm R$（或 $x_0 \pm R$）；③收敛区间 + 收敛的端点 = 收敛域。 --- </details> ## 七、自测题 ### A组（基础题） 1. 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$ 的收敛半径和收敛域。 2. 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的收敛半径和收敛域。 3. 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^n}{n}$ 的收敛域。 4. 判断幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n! \cdot x^n$ 的收敛域。 5. 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}$，求其收敛半径。 ### B组（提高题） 1. 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^n)^n}{n} x^n$ 的收敛半径。（提示：考虑根值法） 2. 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x = -2$ 处条件收敛，求该幂级数的收敛半径，并判断在 $x = 1.5$ 处的敛散性。 3. 设幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R > 0$，判断下列幂级数的收敛半径： - $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{2n}$ - $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 x^n$ --- > **参考答案**（简要提示） > > **A1**：$R = 1$，收敛域 $[-1, 1]$（两端均收敛，$x=-1$ 时 $\sum (-1)^n/n^2$ 绝对收敛，$x=1$ 时 $\sum 1/n^2$ 收敛） > > **A2**：$R = 1$，收敛域 $(-1, 1)$（两端均发散，通项不趋于0） > > **A3**：收敛域 $[-4, -2)$（令 $y=x+3$，类比 $\sum y^n/n$） > > **A4**：$R = 0$，收敛域 $\{0\}$（$\rho = +\infty$） > > **A5**：$R = 1$（缺偶次项，直接对通项用比值法：$\lim|u_{n+1}/u_n| = x^2 < 1$） > > **B1**：$R = 1/4$（根值法：$|a_n| = \frac{(3+(-1)^n)^n}{n}, \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{3+(-1)^n}{\sqrt[n]{n}} \to 4$） > > **B2**：$R = 2$（条件收敛点满足 $R = |x_0|$）；$x = 1.5$ 处绝对收敛（$|1.5| < 2$） > > **B3**：① $R' = \sqrt{R}$；② 需讨论（原收敛半径的条件不足以确定 $a_n^2$ 系数的收敛半径，一般 $R' \geq R^2$） --- **📚 下节预告**：§11.3 幂级数（二）— 和函数与幂级数的四则运算、逐项积分与逐项微分。