§11.1 常数项级数的概念与性质

🏔️ 直觉地图：第十章把积分从”直”推向”曲”，第十一章则处理另一个根本问题——无穷多项加起来会怎样？ 有限个数的加法小学生都会，但无穷个呢？1/2 + 1/4 + 1/8 + … 最终等于 1 还是永远到不了？级数理论就是回答这个问题的。

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§11.1.1 常数项级数的概念

芝诺悖论（引子）

一人从 $A$ 匀速走向 $B$。要到达 $B$，必须先走一半路程 $\frac{1}{2}$；剩下的一半，又要先走一半 $\frac{1}{4}$……如此无限分割，所需时间：

$T=\frac{T}{2}+\frac{T}{4}+\frac{T}{8}+\cdots$

芝诺认为这无穷多个正数相加不可能等于有限数 $T$，因此永远到不了 $B$。

💡 级数理论告诉我们：无穷多个正数加起来可以是有限数。$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$。这就是收敛。

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基本定义

常数项级数：对于一列数 $u_1,u_2,\dots ,u_n,\dots$，称

$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots }$

为常数项级数（简称级数），$u_n$ 称为一般项（通项）。

部分和：称 $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n={\sum }_{k=1}^n{u}_k$ 为级数的第 $n$ 部分和。

• $\{S_n\}$ 称为部分和数列。
• 若 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$（有限数），则称级数收敛，$S$ 为其和：${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n=S$
• 若 $\{S_n\}$ 无极限（包括 $\pm \infty$），则称级数发散

余项：$r_n={\sum }_{k=n+1}^{\infty }{u}_k=S-S_n$，满足 ${\lim }_{n\to \infty }{r}_n=0$（仅当收敛时）。

🎯 核心思想：级数的收敛 = 部分和数列的收敛。级数问题转化为数列极限问题！

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级数与数列的关系

方向	构造
级数 → 数列	给定 $\sum u_n$，得到部分和数列 $\{S_n\}$
数列 → 级数（考研）	给定 $\{a_n\}$，构造级数 $a_1+{\sum }_{n=2}^{\infty }(a_n-a_{n-1})$，其部分和为 $a_n$

换言之：级数的敛散性 $\iff$ 部分和数列的极限存在性。所有数列极限的判断方法都可以搬到级数上来。

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两个必须熟记的级数

① 等比级数（几何级数）

$\boxed{\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+\cdots }$

条件	敛散性	和
$\Vert q\Vert <1$	✅ 收敛	$\frac{a}{1-q}$
$\Vert q\Vert \ge 1$	❌ 发散	—

证明：$S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}$，当 $|q|<1$ 时 $q^n\to 0$，故 $S_n\to \frac{a}{1-q}$。

🎯 这是级数理论的”九九乘法表”——后面判断敛散性时经常拿等比级数来做参照。

② 调和级数

$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots }$

❌ 发散！ 虽然通项 $1/n\to 0$，但发散的。这是”通项→0但级数发散”的经典反例。

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定义法判断敛散性：拆项相消（核心技巧）

很多级数的部分和可以通过裂项写成前后相消的形式，从而直接求极限。

例1：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$

$u_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$S_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$

${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=1\Rightarrow \text{收敛，和为 }1$

例2（考研）：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

同理：$u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，部分和 $S_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\to \frac{1}{2}$。✅ 收敛。

例3：$\sum _{n=2}^{\infty }\ln \left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

$\ln \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\ln \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}=\ln (n-1)+\ln (n+1)-2\ln n$

$S_n={\sum }_{k=2}^n[\ln (k-1)-2\ln k+\ln (k+1)]=-\ln 2-\ln \frac{n}{n+1}\to -\ln 2$

✅ 收敛，和为 $-\ln 2$。

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手把手例题

例：求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n+(-1{)}^n}{8^n}$ 的和。

步骤	操作
①拆项	$=\sum \frac{2^n}{8^n}+\sum \frac{(-1{)}^n}{8^n}=\sum {\left(\frac{1}{4}\right)}^n+\sum {\left(-\frac{1}{8}\right)}^n$
②识别	两个都是等比级数：$q_1=1/4$, $q_2=-1/8$，均满足 $\Vert q\Vert <1$
③求和	$=\frac{1/4}{1-1/4}+\frac{-1/8}{1-(-1/8)}=\frac{1/4}{3/4}+\frac{-1/8}{9/8}$
④计算	$=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$

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§11.1.2 收敛级数的基本性质

性质1：线性性质

若 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 均收敛，$k,l$ 为常数，则：

$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }(k{u}_n+l{v}_n)=k\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n+l\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n}$

“收敛级数的线性组合也收敛”。

情况	结论
一个收敛 + 一个收敛	✅ 和收敛
一个收敛 + 一个发散	❌ 和发散（可反证）
两个都发散	⚠️ 不一定！ 如 $\sum (1)$ 和 $\sum (-1)$ 都发散，但和 $\sum 0$ 收敛

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性质2：有限项不影响敛散性

在级数中去掉、增加或改变有限项，不改变级数的敛散性。

⚠️ 收敛时，和会改变！只是”收敛还是发散”这个属性不变。

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性质3：任意加括号

若级数收敛，则对其项任意加括号后所成级数仍收敛，且和不变。

原理：加括号后的部分和是原部分和数列的子列，子列收敛则收敛于同一极限。

加括号后	原级数
收敛	⚠️ 不一定收敛（如 $1-1+1-1+\cdots$ 加括号 $(1-1)+(1-1)+\cdots =0$ 收敛，但原级数发散）
发散	✅ 原级数一定发散（反证）

特例（正项级数/通项趋于零的级数）：

条件	结论
正项级数：加括号后收敛	⇒ 原级数收敛
$\lim u_n=0$：加括号后收敛	⇒ 原级数收敛

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性质4：收敛的必要条件（★最重要！）

$\boxed{\text{若 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛，则 }\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0}$

证明：$u_n=S_n-S_{n-1}$，两边取极限：$\lim u_n=\lim S_n-\lim S_{n-1}=S-S=0$。

🎯 实战用途：用于判断发散！若 $\lim u_n\ne 0$ 或不存在，则级数一定发散。

通项极限	结论
$\lim u_n\ne 0$	❌ 发散（逆否命题）
$\lim u_n=0$	⚠️ 不一定！调和级数 $\sum 1/n$ 通项→0 但发散

例：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n}{2n+1}$ → $\lim u_n=\frac{1}{2}\ne 0$ → ❌ 发散。

例：${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n^2}{n^2+1}$ → $\lim u_n$ 不存在（振荡） → ❌ 发散。

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柯西收敛原理（竞赛）

$\sum a_n$ 收敛的充要条件：对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对任意正整数 $p$，有：

$\boxed{|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon }$

等价形式（$n\to \infty$）：

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|\to 0(n\to \infty )$

实例：用柯西收敛原理证明 $\sum 1/n^2$ 收敛。

分析：对任意 $p$，${\sum }_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k^2}\le {\sum }_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}\to 0$。

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八、自测题

A组 — 判断题

A1（判断）级数收敛的充要条件是部分和数列有极限。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅

A2（判断）$\sum q^n$ 对任意 $q$ 都收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

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*答案：❌（仅 $*

A3（判断）若 $\lim u_n = 0$，则 $\sum u_n$ 收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（调和级数是反例）

A4（判断）若 $\lim u_n \neq 0$，则 $\sum u_n$ 发散。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅（必要条件逆否）

A5（判断）收敛级数加括号后仍收敛，且和不变。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅

A6（判断）发散级数去掉有限项后可能收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（有限项不影响敛散性）

A7（判断）收敛+收敛=收敛。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅

A8（判断）发散+发散=发散。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（如 $\sum 1$ 和 $\sum (-1)$ 和收敛）

A9（判断）收敛+发散=发散。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅

A10（判断）级数的"和"就是部分和数列的极限。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅

B组 — 计算题

B1 判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 的敛散性，若收敛求其和。

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解： 等比级数（几何级数），公比 $q=\frac{1}{2}$。 $\because |q|=\frac{1}{2}<1$，$\therefore$ 级数收敛。

首项 $a=\frac{1}{2}$，和 $S=\frac{a}{1-q}=\frac{1/2}{1-1/2}=1$。

答： 收敛，和为 $1$。

B2 判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$ 的敛散性。

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解： 通项 $u_n=\frac{n}{n+1}$， $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1\ne 0$。

由级数收敛的必要条件（通项不趋于零），级数一定发散。

答： 发散。

B3 判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n}$ 的敛散性，若收敛求其和。

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解： 等比级数，公比 $q=-\frac{1}{3}$。 $\because |q|=\frac{1}{3}<1$，$\therefore$ 级数收敛。

首项 $a=u_1=-\frac{1}{3}$， $S=\frac{a}{1-q}=\frac{-1/3}{1-(-1/3)}=-\frac{1}{4}$。

答： 收敛，和为 $-\frac{1}{4}$。

B4 用拆项法求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 的和。

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解： 拆项：$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$。

部分和： $\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\\ & =\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right]\\ & =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\end{array}$

$\therefore S={\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{1}{2}$，级数收敛。

答： 收敛，和为 $\frac{1}{2}$。

B5 判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2n^2+1}$ 的敛散性。

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解： 通项 $u_n=\frac{n^2}{2n^2+1}$， $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\frac{1}{2}\ne 0$。

由必要条件知级数发散。答： 发散。

B6 判断 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ 的敛散性。

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解： 通项 $u_n=(-1{)}^n$，在 $-1$ 和 $1$ 间振荡，极限不存在。

由必要条件知发散。答： 发散。

B7 求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}$ 的和。

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解： $\sum \frac{2^n+3^n}{6^n}=\sum {\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\sum {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$。

两个等比级数分别收敛，求和： $S=\frac{1}{1-1/3}+\frac{1}{1-1/2}=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$。

答： 收敛，和为 $\frac{7}{2}$。

C组 — 综合题

C1 ⭐ 用定义证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散。（提示：部分和下界估计）

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证： 部分和 $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$。

下界估计：$\frac{1}{\sqrt{k}}\ge \frac{1}{\sqrt{n}}$（$k\le n$）， $\therefore S_n\ge n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\to \infty$，级数发散。$\square$

C2 ⭐⭐ 讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ 的敛散性并求和。

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解： 拆项：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$。

部分和： $S_n=\frac{1}{2}\left[\right(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3})+(\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4})+\cdots +(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]\to \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。

答： 收敛，和为 $\frac{1}{4}$。

C3 ⭐⭐ 已知 $\sum u_n$ 收敛，问 $\sum u_n^2$ 是否一定收敛？给出理由或反例。

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解： 不一定收敛。反例：

取 $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$，则 $\sum u_n$ 由莱布尼茨判别法收敛。

但 $u_n^2=\frac{1}{n}$，$\sum \frac{1}{n}$（调和级数）发散。

$\therefore$ $\sum u_n$ 收敛 $\nRightarrow$ $\sum u_n^2$ 收敛。

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⚠️ 常见错误

#	错误	正确
1	$\lim u_n=0$ ⇒ 级数收敛	❌ 仅为必要条件，不是充分条件
2	发散+发散=发散	❌ 不一定，如 $1+(-1)=0$
3	等比级数 $q=1$ 时和为 $a/(1-1)$	❌ $q=1$ 时公式不适用，级数发散
4	加括号后收敛 ⇒ 原级数收敛	❌ 不一定（需正项级数或通项→0）