Sec.10.7 斯托克斯公式 — 环流量与旋度

🏔️ 直觉地图：格林公式将平面闭曲线积分转为二重积分；斯托克斯公式将其推广到空间——空间闭曲线积分 $\stackrel{\text{Stokes}}{\to }$ 以该曲线为边界的曲面上的曲面积分。环流量衡量矢量场沿闭曲线的”旋转趋势”，旋度则是每一点的”旋转密度”。本章是场论的收官：梯度（标量→矢量）、散度（矢量→标量）、旋度（矢量→矢量），三者以 $\nabla$ 算子统一。

一、知识整合

Sec.10.7.1 斯托克斯 (Stokes) 公式

定理（斯托克斯公式）

设 $\Gamma$ 为空间分段光滑的有向闭曲线，$\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑有向曲面，$\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手法则（右手四指沿 $\Gamma$ 正向，拇指指向 $\Sigma$ 的法向）。函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 连同边界 $\Gamma$ 上具有一阶连续偏导数，则：

$$\boxed{{\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}$$

直觉：格林公式 $\times$ 三维推广 = 斯托克斯公式。格林是”平面积分”，斯托克斯是”曲面积分”。

便于记忆的行列式形式

$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

用方向余弦形式：

$${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS$$

注1：斯托克斯公式 $\supset$ 格林公式

当 $\Gamma$ 是 $Oxy$ 平面上的有向闭曲线时，$z=0$，$R=0$，$dz=0$，斯托克斯公式退化为格林公式：

$${\oint }_{\Gamma }P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy={\iint }_{\Sigma }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\iint }_{D_{xy}}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

格林公式是斯托克斯公式的特例，斯托克斯是格林的推广。

注2：空间平面曲线

当 $\Gamma$ 为空间平面曲线时（题目中往往没有直接给出曲面 $\Sigma$），需要合理选择以 $\Gamma$ 为边界的有向曲面 $\Sigma$（$\Sigma$ 有无穷多个，选最简单的——通常选该平面上以 $\Gamma$ 为边界的平面区域）。

注3：何时使用斯托克斯公式

满足以下任一条件时优先使用斯托克斯公式：

1. 空间曲线参数化困难 — 直接参数化计算量大
2. 多条分段光滑闭曲线 — 否则需要加辅助有向曲线（分段处理）
3. 空间平面闭曲线 — 选平面区域为 $\Sigma$ 最简洁

其余情况一般用公式法：一投、二代、三换。

例1（引例）— 平面截三角形边界

计算 ${\oint }_{\Gamma }zdx+xdy+ydz$，其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=1$ 被三坐标面所截三角形的整个边界，方向如图所示（逆时针从上方看）。

解：记平面区域 $\Sigma :x+y+z=1$（第一卦限部分），取上侧。

由斯托克斯公式（用行列式形式）：

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }zdx+xdy+ydz& ={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ z& x& y\end{array}\right|\\ & ={\iint }_{\Sigma }\left[\left(\frac{\partial y}{\partial y}-\frac{\partial x}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial z}{\partial z}-\frac{\partial y}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}\right)dxdy\right]\\ & ={\iint }_{\Sigma }(1-0)dydz+(1-0)dzdx+(1-0)dxdy\\ & ={\iint }_{\Sigma }dydz+dzdx+dxdy\end{array}$$

（此题为引例引入公式，未给出最终数值结果，但方法已展示清楚。）

例2（考研题）— 球面与柱面交线

设曲线 $\Gamma$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与柱面 $x^2+y^2=ax$（$z\ge 0,a>0$）的交线，从 $Ox$ 轴正向看去为逆时针方向。

(1) 写出曲线的参数方程； (2) 计算曲线积分 ${\oint }_{\Gamma }{y}^{2}dx+z^{2}dy+x^{2}dz$。

答案：$-\frac{3}{4}\pi a^3$

例3 — 球面与平面交线

设 $\Gamma :\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=25\\ x+y+z=3\sqrt{3}\end{array}$，从 $z$ 轴正向看是逆时针方向，求 ${\oint }_{\Gamma }-ydx+zdy+xdz$。

解：记三角形区域为 $\Sigma$，取上侧，其单位法矢量 $\vec{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$。

由斯托克斯公式（方向余弦形式）：

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }-ydx+zdy+xdz& ={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ -y& z& x\end{array}\right|dS\\ & ={\iint }_{\Sigma }\left[\frac{1}{\sqrt{3}}(1-1)+\frac{1}{\sqrt{3}}(-1-0)+\frac{1}{\sqrt{3}}(0-(-1))\right]dS\\ & =-\frac{1}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }dS\\ & =-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \left(\text{圆的面积}\right)=-\frac{16}{\sqrt{3}}\pi \end{array}$$

注：平面 $x+y+z=3\sqrt{3}$ 截球 $x^2+y^2+z^2=25$，截面为圆，圆心到原点距离 $d=3$，截面圆半径 $r=\sqrt{25-9}=4$，面积 $=16\pi$。

例4 — 平面截立方体

计算 ${\oint }_{\Gamma }(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz$，其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$ 截立方体 $0\le x,y,z\le 1$ 的表面所得的截痕，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向。

解：设 $\Sigma$ 是 $\Gamma$ 所围成的平面区域（取上侧），其在 $Oxy$ 面上的投影区域为 $D_{xy}$。

由斯托克斯公式：

$$\begin{array}{rl}\text{原式}& ={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ y^2-z^2& z^2-x^2& x^2-y^2\end{array}\right|\\ & ={\iint }_{\Sigma }\left[(-2y-2z)dydz+(-2z-2x)dzdx+(-2x-2y)dxdy\right]\\ & =-2{\iint }_{\Sigma }(y+z)dydz+(z+x)dzdx+(x+y)dxdy\end{array}$$

利用合一投影法（平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$，方向余弦 $\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{3}}$），最终化为 $D_{xy}$ 上的二重积分：

$$\begin{array}{rl}& =-2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }[(y+z)+(z+x)+(x+y)]dS\\ & =-\frac{4}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }(x+y+z)dS\\ & =-\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{2}{\iint }_{\Sigma }dS(\text{在 }\Sigma \text{ 上 }x+y+z=\frac{3}{2})\\ & =-\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot S_{\Sigma }\end{array}$$

$\Sigma$ 为平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$ 截立方体所得的六边形区域，投影域 $S_{\Sigma }=\sqrt{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

答案：$-\frac{9}{2}$

Sec.10.7.2 环流量与旋度

旋度 (Curl)

设矢量场 $\vec{A}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，其中 $P,Q,R$ 均具有一阶连续偏导数，则矢量场 $\vec{A}$ 的旋度定义为：

$$\boxed{\mathbf{rot}\vec{A}=\nabla \times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}}$$

🧭 直觉：旋度是矢量场在某一点的”旋转趋势”。把矢量场想象成水流，放一个小桨轮——桨轮旋转的轴方向就是旋度方向，转速正比于旋度大小。

环流量 (Circulation)

矢量场 $\vec{A}$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量定义为：

$$\boxed{{\oint }_{\Gamma }\vec{A}\cdot d\vec{r}={\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz}$$

环流量衡量矢量场沿闭曲线的”净旋转量”。

斯托克斯公式的矢量形式

将斯托克斯公式用旋度表示为：

$$\boxed{{\oint }_{\Gamma }\vec{A}\cdot d\vec{r}={\iint }_{\Sigma }\mathbf{rot}\vec{A}\cdot \vec{n}dS}$$

🎯 核心含义：矢量场沿闭曲线的环流量 = 旋度穿过该曲线所围曲面的通量。这与格林公式的”环流量 = 旋度的面积分”完全一致，只是推广到了空间。

例5（环流量）— 锥面与平面交线

求向量场 $\vec{A}=(x^2-y)\vec{i}+4z\vec{j}+x^2\vec{k}$ 沿闭曲线 $\Gamma$ 的环流量，其中 $\Gamma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=2$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向。

解：记圆形区域 $\Sigma :z=2,x^2+y^2\le 4$（取上侧），则：

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }(x^2-y)dx+4zdy+x^{2}dz& ={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x^2-y& 4z& x^2\end{array}\right|\\ & ={\iint }_{\Sigma }\left[\left(\frac{\partial x^2}{\partial y}-\frac{\partial (4z)}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial (x^2-y)}{\partial z}-\frac{\partial x^2}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial (4z)}{\partial x}-\frac{\partial (x^2-y)}{\partial y}\right)dxdy\right]\\ & ={\iint }_{\Sigma }(0-4)dydz+(0-2x)dzdx+(0+1)dxdy\end{array}$$

由于 $\Sigma$ 是 $z=2$ 平面，$dz=0$，所以 $dydz=dzdx=0$：

$$\begin{array}{rl}& ={\iint }_{\Sigma }dxdy={\iint }_{D_{xy}}dxdy=\pi \cdot 2^2=4\pi \end{array}$$

例6 — $\mathrm{div}(\mathrm{grad}r)$ 与 $\mathrm{rot}(\mathrm{grad}r)$

设 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，求 $\mathrm{div}(\mathrm{grad}r)$ 和 $\mathrm{rot}(\mathrm{grad}r)$。

解：

先求梯度：$\mathrm{grad}r=\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right)$

计算散度：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{div}(\mathrm{grad}r)& =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{r}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{z}{r}\right)\\ \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right)& =\frac{r-x\cdot \frac{x}{r}}{r^2}=\frac{r^2-x^2}{r^3}\\ & =\frac{r^2-x^2}{r^3}+\frac{r^2-y^2}{r^3}+\frac{r^2-z^2}{r^3}=\frac{3r^2-r^2}{r^3}=\frac{2}{r}\end{array}$$

计算旋度：

$$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}r)=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{x}{r}& \frac{y}{r}& \frac{z}{r}\end{array}\right|$$

由混合偏导相等，$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{z}{r}\right)=\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{y}{r}\right)$ 等，每一项都互相抵消。

$$\boxed{\mathrm{rot}(\mathrm{grad}r)=\vec{0}}$$

🎯 重要结论：旋度作用于梯度恒为零！即 $\nabla \times (\nabla u)\equiv \vec{0}$。这是场论中的核心恒等式之一（无旋场必是梯度场）。

Sec.10.7.3 场论三剑客：梯度、散度、旋度

场论中三个最重要的概念，以 $\nabla$（nabla 算子）统一：

概念	记号	输入 → 输出	公式	物理直觉
梯度	$\mathrm{grad}u=\nabla u$	标量 → 矢量	$\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$	标量场变化最快的方向和速率（登山最陡方向）
散度	$\mathrm{div}\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}$	矢量 → 标量	$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$	矢量场的”源”强度（水龙头出水/吸水）
旋度	$\mathrm{rot}\vec{A}=\nabla \times \vec{A}$	矢量 → 矢量	$\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ {\partial }_x& {\partial }_y& {\partial }_z\\ P& Q& R\end{array}\right|$	矢量场的”旋转”趋势（漩涡方向和强度）

两个核心恒等式

1. 梯度无旋：$\boxed{\nabla \times (\nabla u)=\vec{0}}$（即 $\mathrm{rot}(\mathrm{grad}u)\equiv 0$）
2. 旋度无散：$\boxed{\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A})=0}$（即 $\mathrm{div}(\mathrm{rot}\vec{A})\equiv 0$）

四大积分公式的统一

公式	积分关系	维度
格林公式	${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$	曲线 ↔ 平面区域
高斯公式	$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv$	闭曲面 ↔ 空间体
斯托克斯公式	${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ {\partial }_x& {\partial }_y& {\partial }_z\\ P& Q& R\end{array}\right|$	闭曲线 ↔ 曲面
牛顿-莱布尼茨	${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$	区间端点 ↔ 区间

🔗 统一视角：四大公式本质上都是 ${\int }_{\partial M}\omega ={\int }_{M}d\omega$ — 边界上的积分 = 内部微分的积分。

📇 闪卡速记

斯托克斯公式将什么联系起来？

空间闭曲线上的第二类曲线积分 ↔ 以该曲线为边界的有向曲面上的第二类曲面积分

斯托克斯公式与格林公式的关系？

格林公式是斯托克斯公式在 $Oxy$ 平面上的特例（$z=0,R=0,dz=0$）

斯托克斯公式的行列式记忆形式？

${\oint }_{\Gamma }={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ {\partial }_x& {\partial }_y& {\partial }_z\\ P& Q& R\end{array}\right|$

使用斯托克斯公式的三个条件？

①空间曲线参数化困难 ②多条分段曲线 ③空间平面闭曲线

旋度的定义？

$\mathbf{rot}\vec{A}=\nabla \times \vec{A}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ {\partial }_x& {\partial }_y& {\partial }_z\\ P& Q& R\end{array}\right|$

环流量的定义？

${\oint }_{\Gamma }\vec{A}\cdot d\vec{r}={\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz$

斯托克斯公式的矢量形式？

${\oint }_{\Gamma }\vec{A}\cdot d\vec{r}={\iint }_{\Sigma }\mathbf{rot}\vec{A}\cdot \vec{n}dS$

环流量的物理含义？

矢量场沿闭曲线 $\Gamma$ 的”净旋转量”

旋度的物理直觉？

每一点的”旋转密度”——放入小桨轮，转速正比于旋度大小，转轴方向即为旋度方向

右手法则在斯托克斯公式中的作用？

$\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的法向满足右手法则：四指沿 $\Gamma$ 正向 → 拇指指 $\vec{n}$ 方向

梯度的定义与输入/输出？

$\mathrm{grad}u=\nabla u=(u_x,u_y,u_z)$；标量场 → 矢量场

散度的定义与输入/输出？

$\mathrm{div}\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}=P_x+Q_y+R_z$；矢量场 → 标量场

旋度的输入/输出？

$\mathrm{rot}\vec{A}=\nabla \times \vec{A}$；矢量场 → 矢量场

场论中的核心恒等式①？

$\nabla \times (\nabla u)=\vec{0}$（梯度无旋，即 $\mathrm{rot}(\mathrm{grad}u)=0$）

场论中的核心恒等式②？

$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A})=0$（旋度无散，即 $\mathrm{div}(\mathrm{rot}\vec{A})=0$）

当 $\Gamma$ 是空间平面曲线且未给定 $\Sigma$ 时怎么办？

合理选择一个以 $\Gamma$ 为边界的最简单有向曲面（通常就是该平面区域本身）

斯托克斯公式退化到格林公式的条件？

$\Gamma$ 在 $Oxy$ 平面上，即 $z=0,R=0,dz=0$

四大积分公式的统一本质？

${\int }_{\partial M}\omega ={\int }_{M}d\omega$ — 边界上的积分 = 内部微分的积分（广义斯托克斯公式）

🧪 自测题

A 组 — 概念判断

A1. 斯托克斯公式将空间曲线积分转化为二重积分。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（转化为曲面积分，不是二重积分）

A2. 格林公式是斯托克斯公式的特殊情况。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：✅

A3. 旋度是标量。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（旋度是矢量）

A4. 环流量是矢量。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（环流量是标量—曲线积分的值）

A5. rot(grad u) ≡ 0 恒成立。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：✅

A6. div(rot A⃗) ≡ 0 恒成立。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：✅

A7. 使用斯托克斯公式时，Γ 与 Σ 的方向任意选择，不受约束。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：❌（必须满足右手法则）

A8. 矢量形式的斯托克斯公式为 ∮_Γ A⃗·dr⃗ = ∬_Σ A⃗·n⃗ dS。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案：❌（右侧应为 $\mathbf{rot}\vec{A}\cdot \vec{n}$，不是 $\vec{A}\cdot \vec{n}$）

B 组 — 基本计算

B1. 求向量场 A⃗ = (z, x, y) 的旋度。

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答案：$\mathbf{rot}\vec{A}=(1,1,1)$

B2. 求向量场 A⃗ = (y², z², x²) 的旋度。

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答案：$\mathbf{rot}\vec{A}=(-2z,-2x,-2y)$

B3. 验证 rot(grad(x²+y²+z²)) = 0⃗。

查看答案

答案：$\mathrm{grad}=(2x,2y,2z)$，计算旋度知每分量$\frac{\partial (2z)}{\partial y}-\frac{\partial (2y)}{\partial z}=0$，全为零。

B4. ∮Γ y dx + z dy + x dz，Γ: x²+y²+z² = R²，x+y+z = 0（从 z 轴正向看逆时针）。用斯托克斯公式简化。

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答案：平面区域法向量 $\vec{n}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$，旋度 $(-1,-1,-1)$，环流量 $=-\sqrt{3}\pi R^2$

B5. 判断：若 rot A⃗ = 0⃗，则 ∮_Γ A⃗·dr⃗ = 0 对任意闭曲线 Γ 成立。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案：✅（无旋场沿任何可缩闭曲线的环流量为零）

C 组 — 综合应用

C1. 利用斯托克斯公式计算 ∮Γ (y−z) dx + (z−x) dy + (x−y) dz，Γ 为平面 x+y+z = 1 截圆柱 x² + y² = 1 的交线，从 z 轴正向看逆时针。

查看答案

提示与答案：$\Sigma$ 选平面区域 $x+y+z=1$（取上侧），$\vec{n}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$。旋度 $\mathbf{rot}\vec{A}=(-2,-2,-2)$。$\mathbf{rot}\vec{A}\cdot \vec{n}=-\frac{6}{\sqrt{3}}=-2\sqrt{3}$。$\Sigma$ 的面积 $=\sqrt{3}\pi$（投影区域 $D_{xy}:x^2+y^2\le 1$，$dS=\sqrt{3}dxdy$）。环流量 $=-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\pi =-6\pi$。

C2. 求向量场 A⃗ = (x²y, y²z, z²x) 沿曲线 Γ: x²+y²+z² = a², x+y+z = 0 的环流量（从 z 轴正向看逆时针）。

查看答案

提示与答案：旋度 $\mathbf{rot}\vec{A}=(-y^2,-z^2,-x^2)$。平面区域法向量 $\vec{n}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$，取上侧。$\mathbf{rot}\vec{A}\cdot \vec{n}=-\frac{x^2+y^2+z^2}{\sqrt{3}}$。在平面 $x+y+z=0$ 截球 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的圆盘上，$\iint (x^2+y^2+z^2)dS=\frac{\pi a^4}{2}$。环流量 $=-\frac{\pi a^4}{2\sqrt{3}}$。

C3. 用斯托克斯公式证明：若 A⃗ 的旋度处处为零（无旋场），且区域单连通，则线积分 ∫_L A⃗ · dr⃗ 与路径无关。

查看答案

提示与答案：对任意闭曲线 $\Gamma$，取以 $\Gamma$ 为边界的曲面 $\Sigma$，由斯托克斯公式 ${\oint }_{\Gamma }={\iint }_{\Sigma }\mathbf{rot}\vec{A}\cdot \vec{n}dS=0$

⚠️ 常见错误

1. 忘记右手法则 — $\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的法向必须匹配，否则差一个负号
2. 选择 $\Sigma$ 时方向搞反 — 从 $z$ 轴正向看逆时针 → 取上侧（不是下侧）
3. 行列式展开时符号搞错 — 第二行求导算子，注意 $dydz$ 项的符号
4. 平面曲线直接用参数化而不考虑斯托克斯 — 空间平面曲线用斯托克斯往往最快
5. 混淆 $\mathrm{rot}\vec{A}$ 和 $\vec{A}$ — 矢量形式中是 $\mathbf{rot}\vec{A}\cdot \vec{n}$，不是 $\vec{A}\cdot \vec{n}$