Sec.10.5 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）

Sec.10.5 对坐标的曲面积分

又名：第二类曲面积分。与 Sec.10.2 对坐标的曲线积分（第二类线积分）完全对应。核心区别：值取决于曲面的侧（方向）。

🏔️ 直觉地图

对比	第一类 (Sec.10.4)	第二类 (Sec.10.5)
积分对象	标量函数 → 标量积分	向量场在各坐标面的有向投影
记号	${\iint }_{\Sigma }fdS$	${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$
与曲面方向	无关（谁的面都行）	有关（换侧变号）
物理意义	曲面构件质量	流量（流体穿过曲面的有向量）
计算口诀	一投二代三换	一投二代三定号

为什么学这一章？ 从”这个曲面上有多少质量”升级到”流体穿过这个曲面流了多少”——穿过是有方向的，所以积分依赖曲面的侧。

一、Sec.10.5.1 预备知识：有向曲面与有向投影

1.1 有向平面

指定了法向量朝向的平面。例如平面 $x+y+z=1$，取法向量朝上（上侧）：

${\vec{n}}^0=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

判别法：法向量的 $z$ 坐标 $>0$ $⟺$ 上侧。

1.2 有向平面在坐标面上的投影

设有向平面 $\pi$，单位法向量 ${\vec{n}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$，其上区域 $A$ 在三个坐标面上的有向投影为：

$\boxed{A_{yz}=A\cos \alpha ,A_{zx}=A\cos \beta ,A_{xy}=A\cos \gamma }$

🎯 关键：有向投影 = 面积 × 法向量方向余弦。若 $\cos \gamma >0$（上侧），投影为正；若 $\cos \gamma <0$（下侧），投影为负。

1.3 有向曲面

指定了法向量朝向的光滑曲面。对于 $\Sigma :z=z(x,y)$：

侧	法向量 $z$ 分量	与 $z$ 轴夹角
上侧	$\cos \gamma >0$	锐角
下侧	$\cos \gamma <0$	钝角

${\vec{n}}_{\text{上}}^0=\frac{(-z_x^{\prime },-z_y^{\prime },1)}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}},{\vec{n}}_{\text{下}}^0=\frac{(z_x^{\prime },z_y^{\prime },-1)}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}}$

对于闭曲面：外侧（法向量朝外）或内侧（法向量朝内）。

1.4 有向曲面微元的有向投影

曲面微元 $\Delta S$ 在三个坐标面上的有向投影：

$\boxed{(\Delta S{)}_{yz}=\Delta S\cos \alpha ,(\Delta S{)}_{zx}=\Delta S\cos \beta ,(\Delta S{)}_{xy}=\Delta S\cos \gamma }$

其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是 $\Delta S$ 上某点处的单位法向量。

二、Sec.10.5.2 第二类曲面积分的定义

2.1 物理背景：流量

流体的速度场 $\vec{v}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，穿过有向曲面 $\Sigma$ 的流量：

$\Phi ={\iint }_{\Sigma }\vec{v}\cdot {\vec{n}}^{0}dS$

展开：

$\boxed{\Phi ={\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}$

2.2 形式定义

${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n[P_i(\Delta S_i{)}_{yz}+Q_i(\Delta S_i{)}_{zx}+R_i(\Delta S_i{)}_{xy}]$

项	含义
${\iint }_{\Sigma }Pdydz$	$P$ 在 $Oyz$ 面的有向投影积分
${\iint }_{\Sigma }Qdzdx$	$Q$ 在 $Ozx$ 面的有向投影积分
${\iint }_{\Sigma }Rdxdy$	$R$ 在 $Oxy$ 面的有向投影积分

⚠️ 注意写法：$dydz$、$dzdx$、$dxdy$ 都是有向面积微元，不是普通的 $dxdy$！顺序也重要：$dxdy$ ≠ $dydx$（在第二类积分中）。

三、性质（★与第一类的关键差异）

3.1 共性

• 线性性质 ✓
• 可加性 ✓
• 被积函数实质二元 ✓

3.2 反向性（★核心差异）

$\boxed{{\iint }_{-\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=-{\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}$

换侧 → 变号。第一类曲面积分没有这个性质！

3.3 正交性

若 $\Sigma$ 垂直于某个坐标面，则对应的积分项为 0：

条件	结论
$\Sigma \perp Oxy$ 面	${\iint }_{\Sigma }Rdxdy=0$
$\Sigma \perp Oyz$ 面	${\iint }_{\Sigma }Pdydz=0$
$\Sigma \perp Ozx$ 面	${\iint }_{\Sigma }Qdzdx=0$

3.4 对称性（★极易出错，谨慎使用）

与第一类的对称性方向相反！

设 $\Sigma$ 关于 $Oxy$ 面对称，分上下两部分 ${\Sigma }_1$（上）、${\Sigma }_2$（下）：

${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy=\{\begin{array}{ll}0& \text{若 }R(x,y,-z)=R(x,y,z)（关于z为偶函数）\\ 2{\iint }_{{\Sigma }_1}Rdxdy& \text{若 }R(x,y,-z)=-R(x,y,z)（关于z为奇函数）\end{array}$

🔴 注意！ 和第一类完全相反！因为 ${\Sigma }_2$（下侧）的有向投影是负的，会抵消或叠加。

三类对称性汇总：

积分项	对称面	奇函数结果	偶函数结果
$\iint Rdxdy$	$Oxy$ 面	$2{\iint }_{{\Sigma }_1}$	$0$
$\iint Pdydz$	$Oyz$ 面	$2{\iint }_{{\Sigma }_1}$	$0$
$\iint Qdzdx$	$Ozx$ 面	$2{\iint }_{{\Sigma }_1}$	$0$

🎯 记忆口诀：第二类对称性＝“奇倍偶零”（与第一类的”奇零偶倍”相反！）

四、Sec.10.5.3 对坐标的曲面积分的计算法

4.1 核心公式（★一投二代三定号）

设 $\Sigma :z=z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，则

$\boxed{{\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy}$

侧	符号
上侧（$\cos \gamma >0$）	正号 $+$
下侧（$\cos \gamma <0$）	负号 $-$

步骤	操作
一投	将 $\Sigma$ 投影到对应坐标面
二代	代入曲面方程
三定号	根据曲面的侧确定正负号

对比 Sec.10.4：第一类用”三换”($dS$ 展开)，第二类用”三定号”（直接变二重积分，加正负号）。

4.2 其他投影方向的”定号”

投影方向	曲面方程	正号条件	负号条件
$\iint Pdydz$	$x=x(y,z)$	前侧	后侧
$\iint Qdzdx$	$y=y(z,x)$	右侧	左侧
$\iint Rdxdy$	$z=z(x,y)$	上侧	下侧

🎯 记忆：法向量指向坐标轴正方向那一侧 → 取正号。

4.3 三个分项各自独立计算

完整的第二类曲面积分：

${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

三个分项各自独立投影、各自定号，最后加起来。

五、Sec.10.5.4 两类曲面积分的联系

$\boxed{{\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS}$

其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是曲面 $\Sigma$ 在指定侧的单位法向量。

等价关系	含义
$dydz=\cos \alpha dS$	$Oyz$ 面有向微元 = 面积微元 × 法向量 $x$ 方向余弦
$dzdx=\cos \beta dS$	$Ozx$ 面有向微元 = 面积微元 × 法向量 $y$ 方向余弦
$dxdy=\cos \gamma dS$	$Oxy$ 面有向微元 = 面积微元 × 法向量 $z$ 方向余弦

🎯 实用价值：当 $\Sigma$ 的法向量容易写出时，可以把第二类曲面积分转化为第一类来计算（反之亦然）。这是联系两类曲面积分的桥梁。

六、与第一类的全面对比

对比维度	第一类 (对面积) Sec.10.4	第二类 (对坐标) Sec.10.5
记号	${\iint }_{\Sigma }fdS$	${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$
$dS$/$dxdy$ 本质	面积微元（正）	有向面积微元（可正可负）
方向依赖	不依赖	依赖（换侧变号）
物理意义	质量	流量
计算	一投二代三换	一投二代三定号
对称性	奇零偶倍	奇倍偶零（相反！）
被积函数	标量	向量场分量
$f=1$ 时	曲面面积	曲面在对应坐标面的有向投影面积

七、典型例题

例1：基本计算

计算 ${\iint }_{\Sigma }xyzdxdy$，$\Sigma :x^2+y^2+z^2=1$ 在第一、五卦限部分的外侧。

解：第一卦限 $x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$；第五卦限 $x\ge 0,y\ge 0,z\le 0$。

$\Sigma$ 分为上下两半：${\Sigma }_1$（上侧，$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$）、${\Sigma }_2$（下侧，$z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$）。

• ${\Sigma }_1$（上侧，取正）：${\iint }_{{\Sigma }_1}xyzdxdy=+{\iint }_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$
• ${\Sigma }_2$（下侧，取负）：${\iint }_{{\Sigma }_2}xyzdxdy=-{\iint }_{D_{xy}}xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy=+{\iint }_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$

$x,y\ge 0$ 在第一象限，投影 $D:x\ge 0,y\ge 0,x^2+y^2\le 1$。

最终 $=2{\iint }_{D}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy=2{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^1{r}^2\sin \theta \cos \theta \cdot r\sqrt{1-r^2}\cdot rdrd\theta =\cdots$

例2（考研经典）：封闭曲面外侧

计算 $\iint xdydz+ydzdx+zdxdy$，$\Sigma :x^2+y^2+z^2=R^2$ 取外侧。

解法一（投影法）：分为上下半球分别计算。

• 上半球（上侧）：$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，$\iint zdxdy=+{\iint }_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}dxdy$
• 下半球（下侧）：$z=-\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，$\iint zdxdy=-{\iint }_D(-\sqrt{R^2-x^2-y^2})dxdy=+{\iint }_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}dxdy$
• 两部分相同，相加 $=2{\iint }_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}dxdy=\frac{4}{3}\pi R^3$

同理 $\iint xdydz=\iint ydzdx=\frac{4}{3}\pi R^3$。

总和 $=3\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$。

解法二（转化为第一类 + Gauss公式）：外侧单位法向量 ${\vec{n}}^0=\frac{(x,y,z)}{R}$。

积分 $={\iint }_{\Sigma }(x\cdot \frac{x}{R}+y\cdot \frac{y}{R}+z\cdot \frac{z}{R})dS=\frac{1}{R}{\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2+z^2)dS=\frac{R^2}{R}{\iint }_{\Sigma }dS=R\cdot 4\pi R^2=4\pi R^3$。

🎯 转化法比投影法简洁得多！这就是两类积分联系的力量。

📇 闪卡速记

预备知识

有向曲面在 $Oxy$ 面上的有向投影怎么确定？

$(\Delta S{)}_{xy}=\Delta S\cos \gamma$。$\cos \gamma >0$（锐角，上侧）→ 正；$\cos \gamma =0$（直角）→ 0；$\cos \gamma <0$（钝角，下侧）→ 负。

曲面 $\Sigma: z=z(x,y)$ 取上侧时，单位法向量怎么写？

${\vec{n}}^0=\frac{(-z_x^{\prime },-z_y^{\prime },1)}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}}$。$z$ 分量为正 $⟹$ 上侧。

定义与性质

第二类曲面积分的反向性是什么？

${\iint }_{-\Sigma }=-{\iint }_{\Sigma }$。换侧则变号。这是与第一类最核心的差异。

第二类积分的对称性有什么口诀？

奇倍偶零（与第一类的”奇零偶倍”完全相反！）。因为对侧面的有向投影符号相反。

什么是正交性？

曲面垂直于某坐标面 → 对该坐标面的积分项为 0。如 $\Sigma \perp Oxy$ → $\iint Rdxdy=0$。

计算方法

第二类曲面积分的计算口诀？

一投、二代、三定号。①投影到对应坐标面；②代入曲面方程；③根据曲面的侧确定正负号（上/前/右→正，下/后/左→负）。

$\iint_\Sigma R(x,y,z)\,dxdy$，$\Sigma: z=z(x,y)$ 上侧，怎么算？

$+{\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$。上侧取正，下侧取负。

两类曲面积分的联系

第二类曲面积分如何转化为第一类？

${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$。其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是单位法向量。

🧪 自测题

A组 判断题

A1. 第二类曲面积分 ∬_Σ R dxdy 的值与曲面 Σ 取哪一侧**有关**。

✅ 正确 ❌ 错误

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答案： ✅ 正确。换侧变号，这是第二类积分最核心的特性。

A2. 若 Σ 是母线平行于 z 轴的柱面，则 ∬_Σ R dxdy = 0。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案： ✅ 正确。柱面垂直于 $Oxy$ 面（$\cos \gamma =0$），正交性。

A3. ∬_Σ P dydz + Q dzdx + R dxdy 中，三个分项必须投影到同一个坐标面计算。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案： ❌ 各算各的。$P$ 投到 $Oyz$，$Q$ 投到 $Ozx$，$R$ 投到 $Oxy$，各自独立。

A4. 若 Σ 关于 Oxy 面对称且 R 关于 z 是偶函数，则 ∬_Σ R dxdy = 0。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案： ✅ 正确。第二类对称性：“偶零”（与第一类相反！）。

A5. 闭曲面取外侧时，∯_Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 可以用两类积分的联系快速计算。

✅ 正确 ❌ 错误

查看答案

答案： ✅ 正确。外侧 ${\vec{n}}^0=(x,y,z)/R$（球面），转化为第一类：$\frac{1}{R}\iint (x^2+y^2+z^2)dS$。

B组 计算题

B1. 计算 ∬_Σ z dxdy，Σ: x²+y²+z² = R² 取**上侧**（上半球面）。

查看答案

答案： $\Sigma$ 在上半球，$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，$D:x^2+y^2\le R^2$。上侧取正。$={\iint }_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}dxdy=\frac{2}{3}\pi R^3$。

B2. 计算 ∬_Σ x² dydz，Σ: x²+y²+z² = R² 取**外侧**。

查看答案

答案： 外侧 $\cos \alpha =x/R$。$\iint x^{2}dydz=\iint x^2\cdot \frac{x}{R}dS=\frac{1}{R}\iint x^{3}dS$。球面关于 $Oyz$ 面对称，$x^3$ 是奇函数 → $=0$。

B3. 计算 ∬_Σ (x+y+z) dxdy，Σ: z = 1（x² + y² ≤ 1），取下侧。

查看答案

答案： $z=1$，下侧 → 取负号。$=-{\iint }_{x^2+y^2\le 1}(x+y+1)dxdy=-{\iint }_{D}1dxdy=-\pi$。（$x$ 和 $y$ 在对称区域上积分为 0）

C组 综合题

C1. 计算 ∯_Σ x dydz + y dzdx + z dxdy，Σ: x²+y²+z² = R² 取外侧。

查看答案

答案： 提示：转化为第一类，外侧 ${\vec{n}}^0=(x,y,z)/R$。

$={\iint }_{\Sigma }\frac{x^2+y^2+z^2}{R}dS=\frac{R^2}{R}{\iint }_{\Sigma }dS=R\cdot 4\pi R^2=4\pi R^3$。

C2. ⭐⭐ 计算 ∬_Σ xyz dxdy，Σ: z = xy（0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1），取上侧。

查看答案

答案： $z=xy$ 上侧 → 直接代入取正。$={\iint }_{[0,1]\times [0,1]}xy\cdot (xy)dxdy=\iint x^2{y}^{2}dxdy=\frac{1}{9}$。

C3. ⭐⭐⭐ Σ: x²+y²+z² = 1 取外侧，计算 ∯_Σ (x+y) dydz + (y+z) dzdx + (z+x) dxdy。

查看答案

答案： 提示：转化为第一类，外侧 ${\vec{n}}^0=(x,y,z)$。

$={\iint }_{\Sigma }[(x+y)x+(y+z)y+(z+x)z]dS={\iint }_{\Sigma }(x^2+xy+y^2+yz+z^2+zx)dS$。由对称性，$\iint xydS=\iint yzdS=\iint zxdS=0$（球面奇函数）。$\iint x^{2}dS=\iint y^{2}dS=\iint z^{2}dS=\frac{1}{3}\iint (x^2+y^2+z^2)dS=\frac{4}{3}\pi$。总和 $=3\cdot \frac{4}{3}\pi =4\pi$。

八、合一投影法（★三种方法的桥梁）

8.1 公式

当 $\Sigma :z=z(x,y)$，投影到 $Oxy$ 面时，三个分项可以合并在同一个二重积分中：

$\boxed{{\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm {\iint }_{D_{xy}}[P\cdot (-z_x^{\prime })+Q\cdot (-z_y^{\prime })+R]dxdy}$

其中 $\pm$：上侧取正，下侧取负。

🎯 本质：$dydz=-z_x^{\prime }dxdy$，$dzdx=-z_y^{\prime }dxdy$（由上侧法向量 ${\vec{n}}^0=\frac{(-z_x^{\prime },-z_y^{\prime },1)}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}}$ 推导）。

8.2 用合一投影法重做球面外侧例

$\Sigma :x^2+y^2+z^2=R^2$ 取外侧，分上下半球。

上半球 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，上侧 → 取正：

$z_x^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}},z_y^{\prime }=\frac{-y}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}$

${\iint }_{{\Sigma }_{\text{上}}}xdydz+ydzdx+zdxdy={\iint }_D\left[x\cdot \frac{x}{z}+y\cdot \frac{y}{z}+z\right]dxdy$

$={\iint }_D\frac{x^2+y^2+z^2}{z}dxdy={\iint }_D\frac{R^2}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dxdy=2\pi R^3$（半个球面贡献）

下半球类似，两半相加得 $4\pi R^3$。

8.3 三种方法总结

方法	适用场景	核心操作
公式法（分项投影）	各分项投影简单	$P$→$Oyz$, $Q$→$Ozx$, $R$→$Oxy$，各定各号
合一投影法	$\Sigma$ 可表为 $z=z(x,y)$	三合一，投到 $Oxy$，上正下负
两类积分转化	法向量易写（球面等）	$P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma$ × $dS$
Gauss 公式	闭曲面（Sec.10.6 预告）	曲面积分 → 三重积分

九、补充典型例题（Part 2）

例1：球面第一、五卦限外侧

计算 ${\iint }_{\Sigma }xyzdxdy$，$\Sigma :x^2+y^2+z^2=1$ 第一、五卦限外侧。

解：分上下半球。

• ${\Sigma }_1$（上，$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，上侧）： ${\iint }_{{\Sigma }_1}=+{\iint }_{D}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$

• ${\Sigma }_2$（下，$z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$，下侧）： ${\iint }_{{\Sigma }_2}=-{\iint }_{D}xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy=+{\iint }_{D}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$

两半相加 $=2{\iint }_{D}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$，$D:x\ge 0,y\ge 0,x^2+y^2\le 1$。

极坐标：$=2{\int }_0^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta \cdot {\int }_0^1{r}^3\sqrt{1-r^2}dr=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{2}{15}$。

例2：圆锥面外侧（对称性简化）

计算 $I={\iint }_{\Sigma }\frac{z}{e}dydz+zdzdx+\sqrt{x^2+y^2}dxdy$，$\Sigma :z=\sqrt{x^2+y^2}(0\le z\le 1)$ 外侧。

关键观察：$\Sigma$ 关于 $Ozx$ 面对称，$\frac{z}{e}$ 关于 $y$ 为偶函数 → $\iint \frac{z}{e}dydz=0$（第二类对称：偶零）。同理 $\iint zdzdx=0$。

所以 $I={\iint }_{\Sigma }\sqrt{x^2+y^2}dxdy$。圆锥面外侧即下侧 → 取负号。

$=-{\iint }_{D:x^2+y^2\le 1}\sqrt{x^2+y^2}dxdy=-{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}r\cdot rdr=-2\pi \cdot \frac{1}{3}=-\frac{2\pi }{3}$。

例3（合一投影法典型）

计算 ${\iint }_{\Sigma }(z^2+x)dydz-zdxdy$，$\Sigma :z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 介于 $z=0,z=2$ 之间，取下侧。

合一投影法：$\Sigma$ 下侧 → 取负号。$z_x^{\prime }=x$，$z_y^{\prime }=y$。

$\begin{array}{rl}{\iint }_{\Sigma }& =-{\iint }_{D_{xy}}[(z^2+x)(-z_x^{\prime })+0\cdot (-z_y^{\prime })+(-z)]dxdy\\ & =-{\iint }_D[(z^2+x)(-x)-z]dxdy\\ & ={\iint }_D[x(z^2+x)+z]dxdy\end{array}$

其中 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$，$D:x^2+y^2\le 4$（$z\le 2$）。

例4（含抽象函数 $f$）：巧妙抵消

计算 ${\iint }_{\Sigma }[f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy$，$\Sigma :x-y+z=1$ 第四卦限上侧，$f$ 连续。

合一投影法：曲面 $z=1-x+y$，$z_x^{\prime }=-1$，$z_y^{\prime }=1$，上侧 → 取正。

$\begin{array}{rl}{\iint }_{\Sigma }& ={\iint }_D[(f+x)(-z_x^{\prime })+(2f+y)(-z_y^{\prime })+(f+z)]dxdy\\ & ={\iint }_D[(f+x)(1)+(2f+y)(-1)+(f+z)]dxdy\\ & ={\iint }_D[f+x-2f-y+f+z]dxdy\\ & ={\iint }_D(x-y+z)dxdy\end{array}$

$f$ 神奇地消掉了！ 代入 $z=1-x+y$：$x-y+z=x-y+(1-x+y)=1$。

所以积分 $={\iint }_{D}1dxdy=D$ 的面积。

第四卦限：$x\ge 0,y\le 0,z\ge 0⟹x\ge 0,y\le 0,1-x+y\ge 0$。$D:x\ge 0,y\le 0,x-y\le 1$。

面积 $=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\boxed{\frac{1}{2}}$。

🎯 核心技巧：含抽象函数 $f$ 时用合一投影法，$f$ 的系数可能恰好抵消！

例5：$\cos \gamma dS=dxdy$ 的实战

$\Sigma :z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 上侧，$\gamma$ 是法向量与 $z$ 轴正向的锐角，计算 ${\iint }_{\Sigma }z\cos \gamma dS$。

直接转化：$\cos \gamma dS=dxdy$（上侧）。

${\iint }_{\Sigma }z\cos \gamma dS={\iint }_{\Sigma }zdxdy={\iint }_{D:x^2+y^2\le 1}\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$

极坐标：$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr=2\pi \cdot \frac{1}{3}=\boxed{\frac{2\pi }{3}}$。

例6（考研）：椭球面外侧

计算 $I=\iint \frac{y^2}{z}dydz+\frac{z^2}{x}dzdx+\frac{x^2}{y}dxdy$，$\Sigma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 取外侧。

分项 + 轮换对称：先算 $\iint \frac{x^2}{y}dxdy$，分上下半椭球。

外上侧取正，外下侧取负。两半相加后 $=2{\iint }_{D_{xy}}\frac{x^2}{y}/\left(c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}\right)dxdy$。

广义极坐标 $x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$，$dxdy=abrdrd\theta$。计算得：

$\iint \frac{x^2}{y}dxdy=4\pi abc\cdot \frac{1}{c}$

由轮换对称性：

$\iint \frac{y^2}{z}dydz=4\pi abc\cdot \frac{1}{a},\iint \frac{z^2}{x}dzdx=4\pi abc\cdot \frac{1}{b}$

$\boxed{I=4\pi abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}$

例7：电通量 = Gauss 定律（Sec.10.6 预告）

点电荷 $q$ 在原点，电场 $\vec{E}=\frac{q}{r^3}(x,y,z)$。求通过球面 $r=R$ 外侧的电通量。

两类积分转化（外侧 ${\vec{n}}^0=(\frac{x}{R},\frac{y}{R},\frac{z}{R})$）：

$\begin{array}{rl}\Phi & =\iint \frac{q}{R^3}(xdydz+ydzdx+zdxdy)\\ & =\iint \frac{q}{R^3}\left(x\cdot \frac{x}{R}+y\cdot \frac{y}{R}+z\cdot \frac{z}{R}\right)dS\\ & =\frac{q}{R^4}\iint (x^2+y^2+z^2)dS=\frac{q}{R^4}\cdot R^2\iint dS\\ & =\frac{q}{R^2}\cdot 4\pi R^2=\boxed{4\pi q}\end{array}$

🎯 这就是物理中的 Gauss 定律：通过任意闭曲面的电通量 $=4\pi q$（与曲面形状无关！）。用 Sec.10.6 的 Gauss 公式可以直接从二类面积分跳到三重积分，结果依然成立——这是下节的重要预告。