Sec.10.4 对面积的曲面积分

又名：第一类曲面积分。与 Sec.10.1 对弧长的曲线积分（第一类线积分）完全对应。

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为什么学这一章？ 从”线积分”升级到”面积分”——被积函数定义在三维曲面上，但经过投影后，实质还是二重积分。核心只有一句话：把 $dS$ 展开成 $dxdy$。

一、Sec.10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质

1.1 定义

设 $\Sigma$ 为光滑曲面，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。对 $\Sigma$ 作任意分割 $\Delta S_k$，在每片上任意取点 $({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$，若

${\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta S_k$

存在，则称此极限为 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分（第一类曲面积分），记作

$\boxed{{\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS}$

⚠️ 关键注意：被积函数 $f(x,y,z)$ 实质上是二元函数——因为 $(x,y,z)$ 被曲面方程约束，三个变量中只有两个是独立的。

1.2 物理背景

🎯 本质：和 Sec.10.1 对弧长的曲线积分完全相同的”分割→近似→求和→极限”流程，只是把一维曲线换成了二维曲面。

1.3 基本性质

• 线性性质：${\iint }_{\Sigma }(\alpha f+\beta g)dS=\alpha {\iint }_{\Sigma }fdS+\beta {\iint }_{\Sigma }gdS$
• 可加性：$\Sigma ={\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2$，则 ${\iint }_{\Sigma }={\iint }_{{\Sigma }_1}+{\iint }_{{\Sigma }_2}$
• 常数的积分：${\iint }_{\Sigma }dS=A$（曲面 $\Sigma$ 的面积）
• 闭曲面记号：$\iint fdS$

二、对称性（★两类对称）

2.1 普通对称性（面对称）

核心规则：关于坐标面对称，看被积函数关于垂直该面的坐标的奇偶性。

设 $\Sigma$ 关于 $Oyz$ 面（即 $x=0$）对称，${\Sigma }_1$ 是 $x\ge 0$ 的部分：

$$\{\begin{array}{ll}0& \text{若 }f(-x,y,z)=-f(x,y,z)（关于x为奇函数）\\ 2{\iint }_{{\Sigma }_1}f(x,y,z)dS& \text{若 }f(-x,y,z)=f(x,y,z)（关于x为偶函数）\end{array}$$

关于 $Ozx$ 面（$y=0$）、$Oxy$ 面（$z=0$）的对称性完全类似。

直觉类比：和对弧长的曲线积分中”关于坐标轴对称”完全一样，只是从”线”升级到”面”。

2.2 轮换对称性（★高频考点）

若 $\Sigma$ 关于平面 $y=x$ 对称（即曲面方程中 $x$ 和 $y$ 互换后不变），则

${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{\Sigma }f(y,x,z)dS$

球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 上的终极结论：

$\boxed{{\iint }_{\Sigma }{x}^{2}dS={\iint }_{\Sigma }{y}^{2}dS={\iint }_{\Sigma }{z}^{2}dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2+z^2)dS}$

因为 $x^2+y^2+z^2=R^2$（在球面上是常数！），所以：

${\iint }_{\Sigma }{x}^{2}dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }{R}^{2}dS=\frac{R^2}{3}\cdot 4\pi R^2=\frac{4}{3}\pi R^4$

平面 $x+y+z=a$ 第一卦限上的结论：

${\iint }_{\Sigma }xdS={\iint }_{\Sigma }ydS={\iint }_{\Sigma }zdS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }(x+y+z)dS=\frac{a}{3}\cdot (\text{该部分面积})$

三、Sec.10.4.2 对面积的曲面积分的计算法

3.1 核心公式（★一投二代三换）

设曲面 $\Sigma :z=z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$（$\Sigma$ 在 $Oxy$ 面上的投影区域），则

$\boxed{{\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\cdot \sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}dxdy}$

三步口诀：

类比 Sec.10.1 对弧长线积分：“一投（曲线→区间）、二代（$y=y(x)$）、三换（$ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$）“。

3.2 其他投影方向

若曲面为 $x=x(y,z)$，投影到 $Oyz$ 面：

${\iint }_{\Sigma }fdS={\iint }_{D_{yz}}f(x(y,z),y,z)\cdot \sqrt{1+x_y^{\prime 2}+x_z^{\prime 2}}dydz$

若曲面为 $y=y(x,z)$，投影到 $Ozx$ 面类似。选择投影方向的原则：使投影区域最简单，且 $dS$ 表达式不含分母中的根号。

3.3 三种常见曲面的 $dS$ 公式

🎯 圆锥面 $dS=\sqrt{2}dxdy$ 这个结论特别简单好记：$z_x^{\prime }=x/\sqrt{x^2+y^2}$，$z_y^{\prime }=y/\sqrt{x^2+y^2}$，$\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。

3.4 球面坐标系（选学）

球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 用球面坐标参数化：

$$\{\begin{array}{l}x=a\sin \phi \cos \theta \\ y=a\sin \phi \sin \theta \\ z=a\cos \phi \end{array}$$

面积微元：

$\boxed{dS=a^2\sin \phi d\phi d\theta }$

适用于球面上被 $\phi$（锥面）约束范围的积分，比投影到 $Oxy$ 再算二重积分更自然。

四、典型例题精讲

例1：圆锥面 + 平面截割

计算 ${\iint }_{\Sigma }\frac{dS}{1+x^2+y^2}$，$\Sigma :z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被 $z=1$ 截下的第一、二卦限部分。

解：

1. 一投：$\Sigma$ 在 $Oxy$ 面投影为 $D_{xy}:x^2+y^2\le 1$（因为 $z\le 1\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\le 1$）
2. 二代：$z$ 不出现，无需代入
3. 三换：圆锥面 $dS=\sqrt{2}dxdy$
4. 第一、二卦限即 $x\in [-1,1],y\ge 0$ 的半圆

${\iint }_{\Sigma }\frac{dS}{1+x^2+y^2}={\iint }_{D_{xy}\cap \{y\ge 0\}}\frac{\sqrt{2}}{1+x^2+y^2}dxdy=\sqrt{2}{\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^1\frac{r}{1+r^2}dr=\frac{\sqrt{2}\pi }{2}\ln 2$

例2：球面被锥面截割（质量+质心+转动惯量）

$\Sigma :x^2+y^2+z^2=a^2(z\ge 0)$ 被锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 截出的部分（球冠），均匀面密度 $\mu =1$。求质量、质心、转动惯量 $I_z$。

解（球面坐标法）：

• 参数域：$0\le \theta \le 2\pi$，$0\le \phi \le \pi /4$（锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $\phi =\pi /4$）
• $dS=a^2\sin \phi d\phi d\theta$

$M={\iint }_{\Sigma }dS={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /4}{a}^2\sin \phi d\phi =2\pi a^2(1-\frac{\sqrt{2}}{2})=\pi a^2(2-\sqrt{2})$

质心由对称性：$\bar{x}=\bar{y}=0$，$\bar{z}=\frac{1}{M}{\iint }_{\Sigma }zdS=\cdots$

$I_z={\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2)dS={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /4}{a}^2{\sin }^2\phi \cdot a^2\sin \phi d\phi =\cdots$

例3（考研）：${\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2)dS$，$\Sigma :x^2+y^2+z^2=2(x+y+z)$

关键一步：配方得 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=3$，球心 $(1,1,1)$，半径 $R=\sqrt{3}$。

平移：令 $u=x-1,v=y-1,w=z-1$，则 $u^2+v^2+w^2=3$。

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2)dS& ={\iint }_{\Sigma }[(u+1{)}^2+(v+1{)}^2]dS\\ & ={\iint }_{\Sigma }(u^2+v^2+2u+2v+2)dS\end{array}$$

由对称性：${\iint }_{\Sigma }udS={\iint }_{\Sigma }vdS=0$，${\iint }_{\Sigma }{u}^{2}dS={\iint }_{\Sigma }{v}^{2}dS={\iint }_{\Sigma }{w}^{2}dS$

球面上 $u^2+v^2+w^2=3$，所以 ${\iint }_{\Sigma }{u}^{2}dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }(u^2+v^2+w^2)dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }3dS=S_{\text{球面}}=4\pi (\sqrt{3}{)}^2=12\pi$。

等等——${\iint }_{\Sigma }{u}^{2}dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }3dS={\iint }_{\Sigma }dS=4\pi \cdot 3=12\pi$？不对。

重新算：球面积 $S=4\pi R^2=4\pi \cdot 3=12\pi$。${\iint }_{\Sigma }{u}^{2}dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }(u^2+v^2+w^2)dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }3dS=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 12\pi$？不对！${\iint }_{\Sigma }3dS=3\cdot 12\pi =36\pi$，再除以 3 得 $12\pi$。所以 ${\iint }_{\Sigma }{u}^{2}dS=12\pi$。

等等这里好像有误。让我重算：$R^2=3$，球面积 $S=4\pi R^2=12\pi$。

${\iint }_{\Sigma }{u}^{2}dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }(u^2+v^2+w^2)dS=\frac{1}{3}{\iint }_{\Sigma }{R}^{2}dS=\frac{R^2}{3}{\iint }_{\Sigma }dS=\frac{3}{3}\cdot 12\pi =12\pi$。✓

同样 ${\iint }_{\Sigma }{v}^{2}dS=12\pi$。

${\iint }_{\Sigma }{u}^2+v^{2}dS=24\pi$。

${\iint }_{\Sigma }2udS=0$，${\iint }_{\Sigma }2vdS=0$（球心对称，奇函数）。

${\iint }_{\Sigma }2dS=2\cdot 12\pi =24\pi$。

所以原积分 $=24\pi +0+0+24\pi =48\pi$。

例4（考研）：${\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2+z^2)dS$，$\Sigma :x^2+y^2=R^2,0\le z\le H$

圆柱面只能投影到 $Oyz$ 面（或 $Ozx$ 面）。

解：$\Sigma$ 在 $Oyz$ 面投影为 $D_{yz}:-R\le y\le R,0\le z\le H$。

由 $x^2+y^2=R^2\Rightarrow x=\pm \sqrt{R^2-y^2}$，圆柱面分前后两半。

由对称性（关于 $Oxz$ 面）：取前半 $x=\sqrt{R^2-y^2}$，$\times 2$。

$x_y^{\prime }=\frac{-y}{\sqrt{R^2-y^2}},x_z^{\prime }=0\Rightarrow dS=\sqrt{1+\frac{y^2}{R^2-y^2}+0}dydz=\frac{R}{\sqrt{R^2-y^2}}dydz$

（等等，$x=\sqrt{R^2-y^2}$ 时 $x_y^{\prime }=-y/\sqrt{R^2-y^2}$，所以 $1+x_y^{\prime 2}+x_z^{\prime 2}=1+y^2/(R^2-y^2)=R^2/(R^2-y^2)$，$\sqrt{\cdots }=R/\sqrt{R^2-y^2}$。）

在圆柱面上 $x^2+y^2=R^2$（常数！），$x^2+y^2+z^2=R^2+z^2$。

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{\Sigma }(R^2+z^2)dS& =2{\int }_0^H{\int }_{-R}^R(R^2+z^2)\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-y^2}}dydz\\ & =2R{\int }_0^H(R^2+z^2)dz\cdot {\int }_{-R}^R\frac{dy}{\sqrt{R^2-y^2}}\end{array}$$

${\int }_{-R}^R\frac{dy}{\sqrt{R^2-y^2}}=\arcsin \frac{y}{R}{|}_{-R}^R=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi$。

${\int }_0^H(R^2+z^2)dz=R^{2}H+\frac{H^3}{3}$。

所以积分 $=2R\cdot (R^{2}H+\frac{H^3}{3})\cdot \pi =2\pi R^{3}H+\frac{2\pi }{3}R{H}^3$。

📇 闪卡速记

定义与概念

第一类曲面积分的记号是什么？本质是几维积分？

${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$。被积函数 $f$ 虽然含三个变量，但在曲面上被曲面方程约束，实质上是二元函数。积分最终化为二重积分。

第一类曲面积分的微元 $dS$ 和平面面积微元 $d\sigma$ 是什么关系？

$dS=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}dxdy=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}d\sigma$。$dS$ 是曲面上斜面的面积，$d\sigma =dxdy$ 是它在 $Oxy$ 面上的投影面积。

计算方法

第一类曲面积分的计算口诀是什么？

一投、二代、三换。①投影 $\Sigma$ 到坐标面得 $D$；②代入曲面方程；③换 $dS=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}dxdy$。

三种常见曲面的 $dS$ 公式？

①一般曲面 $z=z(x,y)$：$dS=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}dxdy$；②球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$：$dS=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dxdy$；③圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$：$dS=\sqrt{2}dxdy$。

对称性

曲面积分中"面对称"的规则是什么？

$\Sigma$ 关于 $Oyz$ 面对称：$f$ 关于 $x$ 为奇函数→积分=0；$f$ 关于 $x$ 为偶函数→积分=2倍 $x>0$ 部分。

球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 上 $\iint x^2 dS = ?$

由轮换对称：$\iint x^{2}dS=\iint y^{2}dS=\iint z^{2}dS=\frac{1}{3}\iint (x^2+y^2+z^2)dS=\frac{R^2}{3}\cdot 4\pi R^2=\frac{4}{3}\pi R^4$。

什么时候用球面坐标参数化？

积分曲面是球面（或球面的一部分），且积分区域的边界由锥面（$\phi$ 常数）给出时。$dS=a^2\sin \phi d\phi d\theta$。

注意事项

圆柱面 $x^2+y^2=R^2$ 怎么算曲面积分？

投影到 $Oyz$ 面（或 $Ozx$ 面）！因为圆柱面在 $Oxy$ 面上投影是圆周（一维曲线），不是二维区域。在圆柱面上 $x^2+y^2=R^2$ 是常数，可提出积分号。

第一类曲面积分和第一类曲线积分的对称性有什么异同？

曲线积分看轴对称（奇偶性关于某个坐标），曲面积分看面对称（奇偶性关于某个坐标面）。轮换对称性两者都有。

🧪 自测题

A组 判断题（基础概念）

B组 计算题（基本技能）

C组 综合题（应用能力）