Sec.10.3 格林公式（二）— 路径无关与全微分求积

本章结构：Sec.10.3.1 格林公式（见一）→ Sec.10.3.2 路径无关条件 → Sec.10.3.4 全微分求积 + 全微分方程

🏔️ 直觉地图

问题	方法	核心判据
沿不同路径，积分值一样吗？	路径无关条件	$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
这个表达式是谁的全微分？	全微分求积	同上 + 选折线积分
微分方程是不是恰好可积？	全微分方程	同上 + 求原函数 $=C$

为什么学这一章？ 格林公式把”闭曲线积分→二重积分”，路径无关把”非闭曲线积分→随便走”——这两招合起来，几乎所有平面第二类曲线积分都有了统一解法。

一、Sec.10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件

1.1 定义

设 $P(x,y),Q(x,y)$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数。如果对于 $D$ 内任意两点 $A,B$ 及 $D$ 内从 $A$ 到 $B$ 的任意两条曲线 $L_1,L_2$，恒有

${\int }_{L_1}Pdx+Qdy={\int }_{L_2}Pdx+Qdy$

则称曲线积分 ${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 在 $D$ 内与路径无关。

注：路径无关 $\iff$ 沿 $D$ 内任意闭曲线积分为零。

1.2 判定定理（★核心）

定理：设 $P,Q$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则

$\boxed{{\int }_{L}Pdx+Qdy\text{ 在 }D\text{ 内与路径无关}\iff \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}(\forall (x,y)\in D)}$

证明思路：任取 $L_1,L_2$ 从 $A$ 到 $B$，则 $L_1\cup (-L_2)$ 构成闭曲线。

${\int }_{L_1}Pdx+Qdy-{\int }_{L_2}Pdx+Qdy={\oint }_{L_1\cup (-L_2)}Pdx+Qdy\stackrel{\text{格林}}{=}{\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0$

⚠️ 关键前提：$D$ 必须是单连通区域。题目中的 $D$ 通常就是 $P,Q$ 的定义域或定义域的一部分。

1.3 路径无关时的积分策略

当确认 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 后，常选以下积分路径：

路径类型	适用场景
折线路径	通用，先水平再竖直（或反过来）
圆周路径 $x^2+y^2$	被积函数含 $x^2+y^2$
椭圆周 $a{x}^2+b{y}^2$	被积函数含 $a{x}^2+b{y}^2(a,b>0)$
其他特殊路径	根据被积函数结构灵活选取

二、Sec.10.3.3 第二类曲线积分的计算方法总结

2.1 决策树

∫_L Pdx+Qdy 是什么情况？
│
├── ∂P/∂y = ∂Q/∂x ?
│   ├── 是 → L 是闭曲线？
│   │   ├── 是 → 0 ✓（无奇点）或挖奇点
│   │   └── 否 → 积分与路径无关！选折线/圆弧/特殊曲线
│   │
│   └── 否 → L 是闭曲线？
│       ├── 是 → 格林公式 → 二重积分 ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy
│       └── 否 → 添加辅助有向曲线构成闭曲线 → 格林公式
│
└── 被积函数简单 → 公式法（一投二代三换）

2.2 方法速查

方法	条件	操作
公式法	被积函数简单	一投（投影到x或y）、二代（代入曲线方程）、三换（$dx$或$dy$）
格林公式	$\partial Q/\partial x\ne \partial P/\partial y$，闭曲线	化为二重积分
加辅助线	非闭曲线	补成闭曲线 → 格林 → 减去辅助线积分
路径无关	$\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$	选最方便的路径（折线/圆弧等）

三、Sec.10.3.4 二元函数的全微分求积

3.1 定理

定理：设 $P,Q$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy\text{ 是某一函数 }u(x,y)\text{ 的全微分}\iff \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

且

$\boxed{u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy}$

其中 $(x_0,y_0)$ 为 $D$ 内任一定点，积分路径任意（因与路径无关）。

3.2 证明思路

若 $du=Pdx+Qdy$，则 $P=\frac{\partial u}{\partial x}$，$Q=\frac{\partial u}{\partial y}$。

由混合偏导次序可换：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。

反之，取定点 $(x_0,y_0)$，定义 $u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$，则

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left[{\int }_{x_0}^{x}P(t,y_0)dt+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,s)ds\right]=P(x,y_0)+{\int }_{y_0}^y\frac{\partial Q}{\partial x}(x,s)ds$

利用 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，上式 $=P(x,y_0)+{\int }_{y_0}^y\frac{\partial P}{\partial y}(x,s)ds=P(x,y_0)+[P(x,y)-P(x,y_0)]=P(x,y)$。

同理 $\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)$。

3.3 计算方法

取折线路径 $(x_0,y_0)\to (x,y_0)\to (x,y)$：

$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(t,y_0)dt+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,s)ds$

或取 $(x_0,y_0)\to (x_0,y)\to (x,y)$：

$u(x,y)={\int }_{y_0}^{y}Q(x_0,s)ds+{\int }_{x_0}^{x}P(t,y)dt$

🎯 “类牛-莱公式”：若已知原函数 $u$，则 ${\int }_{(x_A,y_A)}^{(x_B,y_B)}Pdx+Qdy=u(x_B,y_B)-u(x_A,y_A)$

⚠️ 此公式当 $P,Q$ 无奇点时一定成立。有奇点时要谨慎。

四、Sec.10.3.4(续) 全微分方程

4.1 定义

若存在 $u(x,y)$ 使 $du=Pdx+Qdy$，则称微分方程

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

为全微分方程。

4.2 判别与求解

• 判别：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$（在单连通区域内）
• 求解步骤：
  1. 求原函数 $u(x,y)$（折线积分法/凑微分法/分组积分法）
  2. 通解为 $u(x,y)=C$

4.3 积分因子

若 $Pdx+Qdy=0$ 不是全微分方程，但存在 $\mu (x,y)\ne 0$ 使

$\mu Pdx+\mu Qdy=0$

成为全微分方程，则称 $\mu (x,y)$ 为积分因子。

常见积分因子（观察法）：利用熟知的全微分公式倒推。例如 $ydx-xdy$ 不是全微分，但乘以 $1/x^2$ 后 $d(-y/x)$ 是；乘以 $1/y^2$ 后 $d(x/y)$ 是。

五、四条等价条件（★核心定理）

设 $P,Q$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则以下四条等价：

编号	命题	关键词
(1)	${\int }_{L}Pdx+Qdy$ 在 $D$ 内与路径无关	路径无关
(2)	${\oint }_{L}Pdx+Qdy=0$（沿 $D$ 内任意闭曲线）	闭曲线积分为零
(3)	$Pdx+Qdy$ 在 $D$ 内为某二元函数 $u$ 的全微分	全微分存在
(4)	$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 内恒成立	偏导相等

统一判据：$\boxed{\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}$

📇 闪卡速记

核心判据

曲线积分与路径无关的充要条件是什么？

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在单连通区域 $D$ 内恒成立。

路径无关的四种等价表述是什么？

(1)积分与路径无关 (2)闭曲线积分为零 (3)$Pdx+Qdy$是某函数全微分 (4)$\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$。

路径无关的前提条件是什么？

$D$ 是单连通区域，且 $P,Q$ 在 $D$ 内有一阶连续偏导数。

计算策略

已知偏导相等，如何计算非闭曲线积分？

积分与路径无关！选最方便的路径——通常折线（先水平再竖直），或被积函数含 $x^2+y^2$ 时取圆弧。

折线路径积分的公式是什么？

$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(t,y_0)dt+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,s)ds$（先水平再竖直），也可交换顺序。

∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x 时的非闭曲线怎么算？

添加辅助有向曲线构成闭曲线 → 格林公式 → 减去辅助线积分。或直接用公式法（一投二代三换）。

全微分求积

Pdx+Qdy 是某二元函数全微分的充要条件？

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$（在单连通区域内）

如何求原函数 u(x,y)？

三种方法：①折线积分法 ②凑微分法（分组观察） ③偏积分法（对 $x$ 积分+待定 $\phi (y)$）。

已知原函数 u，如何计算两点间的曲线积分？

${\int }_A^{B}Pdx+Qdy=u(B)-u(A)$（类牛-莱公式），条件是连线不经过奇点。

全微分方程

什么是全微分方程？如何求解？

$Pdx+Qdy=0$ 且满足 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$。解法：求原函数 $u(x,y)$，通解为 $u(x,y)=C$。

什么是积分因子？

若原方程不是全微分方程，乘以某函数 $\mu (x,y)$ 后成为全微分方程，则 $\mu$ 称为积分因子。常用观察法。

方法选择

计算第二类曲线积分的完整决策流程？

①先算 $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$；②若=0且无奇点→路径无关（选方便路径或闭曲线直接=0）；③若≠0且L闭→格林公式；④若≠0且L非闭→加辅助线+格林。

🧪 自测题

A组 判断题（基础概念）

A1. 若 ∫ₗ P dx + Q dy 与路径无关，则 ∂P/∂y = ∂Q/∂x。

正确 错误

查看答案

答案：正确

这是路径无关的必要条件，在单连通区域 + 一阶连续偏导下也是充分条件。

A2. 若 ∂P/∂y = ∂Q/∂x，则 ∫ₗ P dx + Q dy 一定与路径无关。

正确 错误

查看答案

答案：错误

还需要 $D$ 是单连通区域，且 $P,Q$ 在 $D$ 内有连续偏导。若区域有洞（如原点被挖掉），即使偏导相等也可能与路径有关。

A3. ∮ₗ P dx + Q dy = 0 等价于积分与路径无关。

正确 错误

查看答案

答案：正确

在单连通区域内，沿任意闭曲线积分为零 ⇔ 积分与路径无关。

A4. 若 ∂P/∂y = ∂Q/∂x，则 P dx + Q dy 一定是某函数 u(x,y) 的全微分。

正确 错误

查看答案

答案：正确

（在单连通区域内）这是全微分求积定理的核心结论。

A5. 全微分方程 P dx + Q dy = 0 的通解为 u(x,y) = C，其中 du = P dx + Q dy。

正确 错误

查看答案

答案：正确

A6. 积分与路径无关时，总可以选折线路径来计算。

正确 错误

查看答案

答案：正确

折线（先水平再竖直）是最通用的选择，也可以选其他更方便的路径。

A7. "类牛-莱公式"在任何情况下都成立。

正确 错误

查看答案

答案：错误

需要连线不经过奇点。若原函数在路径上有奇点，公式不能用。

A8. 若 ∂Q/∂x = ∂P/∂y 且 L 是闭曲线，积分一定为零。

正确 错误

查看答案

答案：错误

若 $L$ 包围的区域内有奇点，积分可能不为零。只有整个区域都在 $P,Q$ 的连续可微区域内时才为零。

B组 计算题（基本技能）

B1. 验证 (x+2y)dx + y dy / (x+y)² 在右半平面内积分是否与路径无关？

查看答案

思路：设 $P=\frac{x+2y}{(x+y{)}^2},Q=\frac{y}{(x+y{)}^2}$。

答案：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2(x+y{)}^2-(x+2y)\cdot 2(x+y)}{(x+y{)}^4}=\frac{-2y}{(x+y{)}^3}$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{-2y}{(x+y{)}^3}$。两者相等，积分与路径无关 ✓

B2. 设 ∫ₗ (2x+y) dx + (x+2y) dy，求原函数 u(x,y)（取 (0,0) 为起点）。

查看答案

答案：$P=2x+y,Q=x+2y$，$\partial P/\partial y=1=\partial Q/\partial x$。

$u={\int }_0^x(2t+0)dt+{\int }_0^y(x+2s)ds=x^2+xy+y^2$。

验证：$\partial u/\partial x=2x+y=P$ ✓，$\partial u/\partial y=x+2y=Q$ ✓。

B3. 求解全微分方程 (5x⁴+3xy²−y³)dx + (3x²y−3xy²+y²)dy = 0。

查看答案

答案：$\frac{\partial P}{\partial y}=6xy-3y^2=\frac{\partial Q}{\partial x}$。

$u={\int }_0^{x}5t^{4}dt+{\int }_0^y(3x^{2}s-3x{s}^2+s^2)ds=x^5+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3+\frac{1}{3}{y}^3$。

通解：$x^5+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3+\frac{1}{3}{y}^3=C$。

B4. 计算 ∫_L (x dy − y dx)/(x²+y²)，L 为从 A(−1,0) 到 B(1,0) 的上半单位圆。

查看答案

答案：$P=\frac{-y}{x^2+y^2},Q=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$（不含原点区域）。

原函数 $u=\arctan \frac{y}{x}$。积分 $=\arctan (0)-\arctan (0)=0-\pi =-\pi$。

⚠️ 跨越 $y$ 轴需处理 $\arctan$ 分支。

B5. 计算 ∫_L (x dy − y dx)/(x²+y²)，L 为从 A(−1,0) 到 B(1,0) 的下半单位圆。

查看答案

答案：原函数 $u=\arctan \frac{y}{x}$。沿下半圆 $y\le 0$，$x$ 从 $-1\to 1$，角度从 $-\pi \to 0$。

积分 $=0-(-\pi )=\pi$。

对比 B4：上半圆得 $-\pi$，下半圆得 $\pi$，差了 $2\pi$——因为原点（奇点）被绕行。

C组 综合题（应用能力）

C1 ⭐ 考研题：已知 ∫ₗ [F(x) sin y + f(x) cos y] dx + [F(x) cos y] dy 与路径无关，F(0)=0, f(0)=0，求由 F(x) = 0 确定的隐函数。

查看答案

提示：由 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$：$F(x)\cos y-f(x)\sin y=F^{\prime }(x)\cos y$。对所有 $y$ 成立。

取 $y=0$ 得 $F(x)=F^{\prime }(x)$，解得 $F(x)=C{e}^x$。由 $F(0)=0\Rightarrow C=0$，故 $F(x)\equiv 0$。

再取 $y=\pi /2$ 得 $0=f(x)$，故 $f(x)\equiv 0$。

答案：$y=0$。

C2 ⭐⭐ 考研题：质点沿以 AB 为直径的半圆从 A(1,2) 运动到 B(3,4)。受力 F⃗ 大小等于 |OM|，方向 ⊥ OM 且与 y 轴正向夹角锐角。求变力做功。

查看答案

提示：$|\vec{F}|=\sqrt{x^2+y^2}$，$\vec{F}=(-y,x)$（与 $y$ 轴锐角 → $x$ 分量为正）。

$W={\int }_{AB}-ydx+xdy$。补 $BA$ 直线成闭曲线，格林：$\oint ={\iint }_D(1-(-1))dxdy=2\cdot \text{Area}(D)$。

$AB=2\sqrt{2}$，半圆面积 $=\pi$。$\oint =2\pi$。

$BA$ 上 $y=x+1$，$x:3\to 1$：${\int }_{BA}={\int }_3^1[-(x+1)+x]dx={\int }_3^1(-1)dx=2$。

${\int }_{AB}=2\pi -2=2(\pi -1)$。

答案：$2(\pi -1)$。

C3 ⭐⭐⭐ 已知 ∫_L (x dy − y dx)/(ax²+2bxy+cy²)（a, c > 0, ac−b² > 0）在不过原点的任何区域内与路径无关。求证并求原函数形式。

查看答案

提示：$P=\frac{-y}{Q_0},Q=\frac{x}{Q_0}$（$Q_0=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$）。

偏导条件化简得 $2(ac-b^2)>0$ 恒成立（题设条件），故路径无关。

原函数积分形式为 $\frac{1}{2\sqrt{ac-b^2}}\arctan \frac{bx+cy}{\sqrt{ac-b^2}x}$（或类似形式，与配方法有关）。

本章 Sec.10.3 全部完结。格林的”三板斧”：①格林公式（闭→二重）②路径无关（非闭→随便走）③全微分求积（找到原函数）。配套第一部分笔记见 Sec.10.3 格林公式（一）。