Sec.10.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

🏔️ 直觉地图

积分学的终极形态：从”域”到”线”

积分类型	积分区域	微元	物理意义
定积分	区间 $[a,b]$	$dx$	直线段质量
二重积分	平面域 $D$	$d\sigma =dxdy$	薄片质量
三重积分	空间域 $\Omega$	$dv=dxdydz$	立体质量
曲线积分	曲线弧 $L$	$ds$（弧长微元）	曲线细杆质量

🎯 核心直觉：以前在”面上”积，现在在”线上”积。把曲线切成无数小弧段，每段上的函数值乘以弧长，全加起来。

⚠️ 关键区别：被积函数 $f(x,y)$ 形式上是二元函数，但 $(x,y)$ 约束在曲线 $L$ 上 → 实质上是一元函数。$x^2+y^2=R^2$ 上的 $x^2+y^2$ 恒等于 $R^2$！

一、知识整合

Sec.10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质

四个引例（统一于同一结构）

四个引例的结构完全一致：$0\to \lim \sum f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta s_k$。抽去背景 = 曲线积分。

🎯 定义

$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta s_k}$

• $L$：积分弧段（光滑曲线）
• $ds$：弧长微元
• $\lambda$：各小弧段长度的最大值

闭曲线记为 ${\oint }_{L}f(x,y)ds$。

推广到空间曲线 $\Gamma$： ${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta s_i$

⚠️ 最重要的警惕：$f(x,y)$ 在 $L$ 上定义，$(x,y)$ 不是自由变量——它们的取值受曲线方程的约束。因此 $f(x,y)$ 在 $L$ 上实质是一元函数。

经典例子：${\oint }_{x^2+y^2=R^2}(x^2+y^2)ds={\oint }_L{R}^{2}ds=R^2\cdot 2\pi R=2\pi R^3$。

❌ 不要把 $\oint (x^2+y^2)ds$ 算成二重积分 ${\iint }_{x^2+y^2\le R^2}(x^2+y^2)dxdy$！

性质

与重积分的性质相同：

1. 线性性：${\int }_L(\alpha f+\beta g)ds=\alpha {\int }_{L}fds+\beta {\int }_{L}gds$
2. 弧段可加性：${\int }_{L_1+L_2}fds={\int }_{L_1}fds+{\int }_{L_2}fds$
3. 单调性：$f\le g$ 在 $L$ 上 ⇒ ${\int }_{L}fds\le {\int }_{L}gds$
4. 弧长性质：${\int }_{L}kds=k\cdot l$（$l$ 为 $L$ 的弧长）

估值不等式与中值定理基本不考。

🎯 对称性质（考试重点）

普通对称性

平面曲线关于 $x$ 轴对称（看 $y$ 奇偶）： ${\int }_{L}f(x,y)ds=\{\begin{array}{ll}0,& f(x,-y)=-f(x,y)\\ 2{\int }_{L_1}fds,& f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$

空间曲线关于 $xOy$ 面对称（看 $z$ 奇偶）：同理。

轮换对称性

关于 $y=x$ 对称（平面曲线）： ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{L}f(y,x)ds$

推论：${\oint }_{x^2+y^2=R^2}{x}^{2}ds=\oint y^{2}ds=\frac{1}{2}\oint (x^2+y^2)ds$

推广：${\oint }_{x^2+y^2=R^2}(ax+by{)}^{2}ds=\frac{a^2+b^2}{2}\oint (x^2+y^2)ds$

关于 $x=y=z$ 轮换对称（空间曲线）： ${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\int }_{\Gamma }f(y,z,x)ds={\int }_{\Gamma }f(z,x,y)ds$

特别地，当 $\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 与平面 $x=y=z$ 等的交线时： ${\oint }_{\Gamma }{x}^{2}ds={\oint }_{\Gamma }{y}^{2}ds={\oint }_{\Gamma }{z}^{2}ds=\frac{1}{3}{\oint }_{\Gamma }(x^2+y^2+z^2)ds$

Sec.10.1.2 对弧长的曲线积分的计算法

🎯 核心方法：「一投，二代，三换」

一投：把曲线投影到坐标轴，得到积分区间 二代：把被积函数中的 $(x,y)$ 用曲线方程代掉 三换：$ds$ 换成含积分变量的弧长微元公式

⚠️ 投射必须一对一；否则需分段。

公式1：$y=y(x)$ 形式

$L:y=y(x),a\le x\le b$

$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx}$

下限 $a$ 必须小于上限 $b$（弧长积分与方向无关）。

公式2：$x=x(y)$ 形式

$L:x=x(y),c\le y\le d$

$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_c^{d}f(x(y),y)\sqrt{1+[x^{\prime }(y){]}^2}dy}$

公式3：参数方程形式（最常用）

$L:\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$

$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t))\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt}$

参数方程形式的弧长微元：$ds=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

公式4：极坐标形式

$L:r=\rho (\theta ),\alpha \le \theta \le \beta$

即 $x=\rho (\theta )\cos \theta$, $y=\rho (\theta )\sin \theta$，代入参数公式得：

$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\sqrt{[\rho (\theta ){]}^2+[{\rho }^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta }$

推导：$x^{\prime }={\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta$, $y^{\prime }={\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta$ → $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2={\rho }^2+({\rho }^{\prime }{)}^2$

公式5：空间曲线参数方程

$\Gamma :\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$

$\boxed{{\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi ,\psi ,\omega )\sqrt{[{\phi }^{\prime }{]}^2+[{\psi }^{\prime }{]}^2+[{\omega }^{\prime }{]}^2}dt}$

⚠️ 考点：若空间曲线为交面式（两曲面交线），需先参数化再套公式。

🎯 手把手例题

例1：$y=y(x)$ 型 — 基础

题目：计算 ${\int }_{L}yds$，$L$ 为 $y=x^2$ 上从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的弧段。

①一投：$x\in [0,1]$

②二代：$f=y=x^2$，$y^{\prime }=2x$

③三换：$ds=\sqrt{1+(2x{)}^2}dx=\sqrt{1+4x^2}dx$

$I={\int }_0^1{x}^2\sqrt{1+4x^2}dx$

⚠️ 易错提醒：被积函数是 $x^2\sqrt{1+4x^2}$，不能用简单 $u$-sub（$u=1+4x^2$ 只能处理 $x\sqrt{1+4x^2}$，多一个 $x$ 因子就失效了）。

④三角换元：令 $2x=\tan \theta$，则

$x=\frac{\tan \theta }{2},dx=\frac{1}{2}{\sec }^2\theta d\theta ,\sqrt{1+4x^2}=\sec \theta$

当 $x=0$ 时 $\theta =0$；$x=1$ 时 $\theta =\arctan 2$。

$x^2\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{{\tan }^2\theta }{4}\cdot \sec \theta \cdot \frac{{\sec }^2\theta }{2}d\theta =\frac{1}{8}{\tan }^2\theta {\sec }^3\theta d\theta$

由 ${\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta -1$：

$I=\frac{1}{8}{\int }_0^{\arctan 2}({\sec }^5\theta -{\sec }^3\theta )d\theta$

⑤递推公式：

$\int {\sec }^3\theta d\theta =\frac{1}{2}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C$

$\int {\sec }^5\theta d\theta =\frac{1}{4}{\sec }^3\theta \tan \theta +\frac{3}{4}\int {\sec }^3\theta d\theta$

代入化简：

$\int ({\sec }^5\theta -{\sec }^3\theta )d\theta =\frac{1}{4}{\sec }^3\theta \tan \theta -\frac{1}{8}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C$

$I=\frac{1}{8}{\left[\frac{1}{4}{\sec }^3\theta \tan \theta -\frac{1}{8}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)\right]}_0^{\arctan 2}$

$={\left[\frac{1}{32}{\sec }^3\theta \tan \theta -\frac{1}{64}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)\right]}_0^{\arctan 2}$

在 $\theta =\arctan 2$ 处：$\tan \theta =2,\sec \theta =\sqrt{5}$，代入：

$I=\frac{1}{32}\cdot 5\sqrt{5}\cdot 2-\frac{1}{64}(2\sqrt{5}+\ln (2+\sqrt{5}))=\frac{5\sqrt{5}}{16}-\frac{2\sqrt{5}}{64}-\frac{\ln (2+\sqrt{5})}{64}$

$=\frac{18\sqrt{5}-\ln (2+\sqrt{5})}{64}$

✅ 答案：$\boxed{\frac{18\sqrt{5}-\ln (2+\sqrt{5})}{64}}\approx 0.6063$

例2：参数方程 — 圆的经典应用

题目：半径为 $R$、中心角为 $2\alpha$ 的均匀圆弧（$\mu =1$），求 (1) 对对称轴的转动惯量；(2) 质心。

这是Sec.10.1 最典型的物理应用题！

①参数化：圆心在原点，圆弧关于 $x$ 轴对称 $L:\{\begin{array}{l}x=R\cos \theta \\ y=R\sin \theta \end{array},-\alpha \le \theta \le \alpha$

②弧长微元：$ds=\sqrt{(-R\sin \theta {)}^2+(R\cos \theta {)}^2}d\theta =Rd\theta$

(1) 对 $x$ 轴（对称轴）的转动惯量： $I_x={\int }_L{y}^{2}ds={\int }_{-\alpha }^{\alpha }{R}^2{\sin }^2\theta \cdot Rd\theta =2R^3{\int }_0^{\alpha }{\sin }^2\theta d\theta$ $=2R^3\cdot \frac{1}{2}(\alpha -\sin \alpha \cos \alpha )=R^3(\alpha -\sin \alpha \cos \alpha )$

(2) 质心：由对称性 $\bar{y}=0$， $M={\int }_{L}1ds=R\cdot 2\alpha =2R\alpha$ $\bar{x}=\frac{{\int }_{L}xds}{M}=\frac{{\int }_{-\alpha }^{\alpha }R\cos \theta \cdot Rd\theta }{2R\alpha }=\frac{2R^2\sin \alpha }{2R\alpha }=\frac{R\sin \alpha }{\alpha }$

✅ 答案：(1) $I_x=R^3(\alpha -\sin \alpha \cos \alpha )$；(2) $\bar{x}=\frac{R\sin \alpha }{\alpha }$, $\bar{y}=0$

半圆弧 $\alpha =\pi /2$：$I=R^3\cdot \frac{\pi }{2}$, $\bar{x}=\frac{2R}{\pi }$。

例3：空间曲线 — 交面式参数化（典型考点）

题目：计算 ${\oint }_{\Gamma }(x^2+y^2+z^2)ds$，$\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=9$ 与平面 $x+z=1$ 的交线。

①利用曲面方程化简被积函数： ${\oint }_{\Gamma }(x^2+y^2+z^2)ds={\oint }_{\Gamma }9ds=9\cdot (\text{Γ 的周长})$

⚠️ 这就是”实质一元函数”的威力——不需要参数化！直接利用曲线上的恒等式。

②求交线周长：球面 $R=3$，平面 $x+z=1$ 到球心的距离： $d=\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1+0+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

截面圆半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{17}{2}}$

周长 $=2\pi r=2\pi \sqrt{\frac{17}{2}}$

$I=9\cdot 2\pi \sqrt{\frac{17}{2}}=18\pi \sqrt{\frac{17}{2}}$

✅ 答案：$18\pi \sqrt{\frac{17}{2}}$

教训：先看被积函数能否用曲线方程化简，往往可以免去参数化！

例4：曲线方程化简型

🎯 核心策略：当被积函数能用曲线方程化为常数时，不要参数化——直接用方程代入。

题目：计算 ${\oint }_L(3x^2+2xy+4y^2)ds$，$L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其周长已知为 $a$。

① 奇偶对称消去交叉项

椭圆关于 $x$ 轴对称，$f=2xy$ 关于 $y$ 为奇函数： ${\oint }_{L}2xyds=0$

轮换对称性（$x\leftrightarrow y$）在此不适用——椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的系数 $4\ne 3$，不关于 $y=x$ 对称。

② 曲线方程代入化简

由椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，两边同乘 $12$： $3x^2+4y^2=12$

也就是说，在整个椭圆上，$3x^2+4y^2$ 恒等于常数 $12$。

③ 完成计算

$I={\oint }_L\underset{=12}{\underbrace{(3x^2+4y^2)}}ds+\underset{=0}{\underbrace{{\oint }_{L}2xyds}}=12{\oint }_{L}ds=12a$

💡 方法对比：

做法	步骤	可行性
参数化 $x=2\cos t,y=\sqrt{3}\sin t$	需计算 ${\int }_0^{2\pi }\sqrt{4{\sin }^{2}t+3{\cos }^{2}t}dt$	椭圆积分，无初等表达式
方程代入化简	$3x^2+4y^2=12$ → 常数提出	✅ 秒杀

⚠️ 关键条件：本题依赖「周长已给为 $a$」。若周长未知，方程代入后只剩 $\oint ds=\text{周长}$，仍需用椭圆积分求周长。

✅ 答案：$12a$

📇 闪卡速记

第一类曲线积分的定义？

${\int }_{L}f(x,y)ds={\lim }_{\lambda \to 0}\sum f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta s_k$

曲线积分与重积分的根本区别？

积分区域是曲线弧而非平面域；被积函数在曲线上实质是一元函数

闭曲线积分的记号？

${\oint }_{L}f(x,y)ds$

核心计算口诀？

一投二代三换：投射→代入方程→$ds$换弧长微元

y=y(x) 型的 ds 公式？

$ds=\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$

参数方程的 ds 公式？

$ds=\sqrt{[{\phi }^{\prime }{]}^2+[{\psi }^{\prime }{]}^2}dt$

极坐标的 ds 公式？

$ds=\sqrt{{\rho }^2+({\rho }^{\prime }{)}^2}d\theta$

空间曲线参数方程的 ds？

$ds=\sqrt{[{\phi }^{\prime }{]}^2+[{\psi }^{\prime }{]}^2+[{\omega }^{\prime }{]}^2}dt$

弧长积分的积分下限与上限关系？

下限必须小于上限（弧长与方向无关）

投射不一对一怎么办？

分段计算

被积函数恒等式化简的经典例子？

${\oint }_{x^2+y^2=R^2}(x^2+y^2)ds=R^2\cdot 2\pi R=2\pi R^3$

圆的轮换对称性怎么用？

${\oint }_{x^2+y^2=R^2}{x}^{2}ds=\frac{1}{2}\oint (x^2+y^2)ds=\pi R^3$

关于 x 轴对称，f 关于 y 奇？

积分 = 0

空间曲线 x=y=z 轮换对称？

$\oint x^{2}ds=\oint y^{2}ds=\oint z^{2}ds$

柱面侧面积用曲线积分？

$S={\int }_{L}f(x,y)ds$（准线 $L$，顶 $z=f(x,y)$）

∫_L k ds 等于？

$k\cdot l$（$l$ 为 $L$ 的弧长）

🧪 自测题

A组：基础概念（10道）

B组：基本计算（10道）

C组：综合应用（4道）