§6.3(3) 二阶线性微分方程解的性质与结构

一、基本概念

二阶线性微分方程：$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$

• $f(x)\equiv 0$：齐次
• $f(x)\not\equiv 0$：非齐次（$f(x)$ 称自由项）

二、函数的线性相关与无关

定义：函数 $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ 在区间 $I$ 上， 若存在不全为零的常数 $k_1,\dots ,k_n$ 使 $k_1{y}_1+\cdots +k_n{y}_n\equiv 0$， 则称线性相关，否则线性无关。

两个函数的判别法

$y_1,y_2\text{ 线性相关}⟺\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\equiv \text{常数}$ $y_1,y_2\text{ 线性无关}⟺\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\not\equiv \text{常数}$

例：$1,{\cos }^{2}x,{\sin }^{2}x$ 线性相关（$1-{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\equiv 0$） 例：$1,x,x^2$ 线性无关

三、齐次方程解的结构

性质1（解的线性组合）：若 $y_1,y_2$ 是齐次方程 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Qy=0$ 的两个解， 则 $y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$ 也是解。

性质2（通解）：若 $y_1,y_2$ 是齐次方程的两个线性无关特解， 则 $y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$ 是通解。

关键：必须是两个线性无关的解才能构成通解！

例：$y^{\prime \prime }+y=0$，特解 $\cos x$ 和 $\sin x$ 线性无关（比值 $\tan x\ne$ 常数）， 故通解为 $y=C_1\cos x+C_2\sin x$。

四、非齐次方程解的结构

定理3（解的构成）：设 $y_p$ 是非齐次方程 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Qy=f$ 的一个特解， $y_c$ 是对应齐次方程的通解，则非齐次方程的通解为： $y=y_c+y_p$

记忆：非齐通 = 齐通 + 非齐特

推论（非齐次方程解的叠加）

结论	说明
非齐次解之差	两个非齐次特解之差为对应齐次方程的解
解之和（同f）	非齐次特解 + 齐次解 = 非齐次解

五、叠加原理

定理5（线性叠加）：若 $y_{p1}$ 是 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Qy=f_1(x)$ 的特解， $y_{p2}$ 是 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Qy=f_2(x)$ 的特解， 则 $y_{p1}\pm y_{p2}$ 是 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Qy=f_1(x)\pm f_2(x)$ 的特解。

复解的实部与虚部（定理4）

若 $y=y_1+i{y}_2$ 是 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Qy=f_1+i{f}_2$ 的复数解， 则 $y_1$ 和 $y_2$ 分别是实部和虚部方程的实解。

应用：遇到 $e^{\alpha x}\cos \beta x$ 或 $e^{\alpha x}\sin \beta x$ 型自由项时， 可先求复指数型方程的解，再取实部/虚部。

六、结构关系总图

非齐次方程通解 y = y_c + y_p
                     │
        ┌────────────┼────────────┐
        │            │            │
    齐次通解y_c   非齐次特解y_p  叠加原理
    =C₁y₁+C₂y₂   (待定系数法)    f₁+f₂→yₚ₁+yₚ₂
    (y₁,y₂线性无关)

关键考点：已知三个非齐次特解求通解 → 任意两两之差为齐次解， 再验证是否线性无关。