§6.3(2) 二阶常系数齐次线性微分方程

一、基本概念

二阶线性微分方程：$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$

• $f(x)\equiv 0$ 时：齐次
• $f(x)\not\equiv 0$ 时：非齐次

当 $P(x),Q(x)$ 为常数 $p,q$ 时，称为常系数方程： $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$

二、特征方程法

设 $y=e^{rx}$ 为尝试解（因为指数函数的导数与其自身只差常数因子）， 代入得 $r^2{e}^{rx}+pr{e}^{rx}+q{e}^{rx}=0$ → 特征方程： $r^2+pr+q=0$

结论：$r$ 是特征根 $⟺$ $y=e^{rx}$ 是方程的解。

三、通解公式（$\Delta =p^2-4q$）

判别式	特征根	通解
$\Delta >0$	两个不等实根 $r_1\ne r_2$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$\Delta =0$	重根 $r_1=r_2=-\frac{p}{2}$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$
$\Delta <0$	共轭复根 $r=\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

其中 $\alpha =-\frac{p}{2},\beta =\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$。

重根情况推导

特征方程有重根 $r_1$ 时，一个解为 $y_1=e^{r_{1}x}$。 设另一解为 $y_2=u(x)e^{r_{1}x}$，代入原方程可得 $u^{\prime \prime }=0$ → $u=x$， 故 $y_2=x{e}^{r_{1}x}$。

四、解题三步法

1. 写特征方程：$r^2+pr+q=0$
2. 求两个特征根：$r_1,r_2$
3. 根据 $\Delta$ 选择通解公式

五、典型例题

例1：$y^{\prime \prime }+ay=0$ 的通解

$a$	通解
$a=0$	$y=C_1+C_{2}x$
$a>0$	$y=C_1\cos \sqrt{a}x+C_2\sin \sqrt{a}x$
$a<0$	$y=C_1{e}^{\sqrt{-a}x}+C_2{e}^{-\sqrt{-a}x}$

例2：已知特解求方程

已知 $y=x{e}^{2x}$ 为特解 → 特征方程有重根 $r=2$ → $(r-2{)}^2=0$ → $r^2-4r+4=0$ → 微分方程：$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=0$，通解：$y=(C_1+C_{2}x)e^{2x}$

关键公式汇总

特征根类型	通解形式	记忆技巧
两不等实根	$C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$	两个指数叠加
重根	$(C_1+C_{2}x)e^{rx}$	指数×一次多项式
共轭复根	$e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$	指数×振荡