§6.3(1) 可降阶的二阶微分方程

一、$y^{\prime \prime }=f(x)$ 型

解法：两次积分即可得含两个任意常数的通解。

例：$y^{\prime \prime }=\sin x$ → $y^{\prime }=-\cos x+C_1$ → $y=-\sin x+C_{1}x+C_2$

二、$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型（不显含 $y$）

解法：令 $y^{\prime }=p(x)$，则 $y^{\prime \prime }=p^{\prime }=\frac{dp}{dx}$。 原方程化为关于 $p$ 的一阶方程：$\frac{dp}{dx}=f(x,p)$ 解出 $p=y^{\prime }$ 后再积分得 $y$。

核心思想：把 $y^{\prime }$ 看作新的未知函数 → 自然降阶法。

例：$(1+x^2)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }=0$，$y^{\prime }{|}_{x=0}=1$，$y{|}_{x=0}=3$

令 $y^{\prime }=p$，则 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$， $(1+x^2)\frac{dp}{dx}-2xp=0$ → $\frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}dx$ → $p=C_1(1+x^2)$，代入初始条件得 $p=1+x^2$ → $y=x+\frac{x^3}{3}+3$

三、$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ 型（不显含 $x$）

解法：令 $y^{\prime }=p(y)$（把 $y$ 看作自变量）， 则 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$ 原方程化为：$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

解出 $p=y^{\prime }$ 后再分离变量求 $y$。

注：注意区别型二和型三的降阶方式！

类型	不显含	代换	$y^{\prime \prime }$ 的转化
型二	$y$	$y^{\prime }=p(x)$	$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$
型三	$x$	$y^{\prime }=p(y)$	$y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$

例：$y{y}^{\prime \prime }-(y^{\prime }{)}^2=0$

令 $y^{\prime }=p(y)$，则 $y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$， 代入得 $yp\frac{dp}{dy}-p^2=0$ → $\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}$ → $p=C_{1}y$ → $\frac{dy}{dx}=C_{1}y$ → $y=C_2{e}^{C_{1}x}$

可降阶类型总结

类型	方程形式	代换	结果形式
型一	$y^{\prime \prime }=f(x)$	无	两次积分
型二	$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$	$y^{\prime }=p(x)$	一阶ODE → 再积分
型三	$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$	$y^{\prime }=p(y)$	一阶ODE → 分离变量