§6.2 一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程

形式：$g(y)dy=f(x)dx$

求解公式：$G(y)=F(x)+C$（其中 $G^{\prime }=g,F^{\prime }=f$）

例：$\frac{dy}{dx}=3x^{2}y$ → $\frac{dy}{y}=3x^{2}dx$ → $\ln |y|=x^3+C$ → $y=C{e}^{x^3}$

二、可化为可分离变量的方程

1. $\frac{dy}{dx}=f(ax+by)$ 型

令 $u=ax+by$，则 $\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}=a+bf(u)$ → 可分离变量。

2. $\frac{dy}{dx}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$ 型（一阶齐次方程）

令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$， 代入得 $x\frac{du}{dx}=\phi (u)-u$ → 可分离变量。

例：$\frac{dy}{dx}=\frac{2xy-y^2}{x^2-2xy}$ → 分子分母同除 $x^2$ → 化为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

三、一阶线性微分方程

标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

类型	通解
齐次 $Q(x)\equiv 0$	$y=C{e}^{-\int P(x)dx}$
非齐次 $Q(x)\not\equiv 0$	$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]$

常数变易法推导

先求齐次通解 $y=C{e}^{-\int Pdx}$，再将 $C$ 替换为 $u(x)$ 代入原方程，解得 $u(x)$。

记忆公式： $y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$

积分因子法（便捷）

两边同乘积分因子 $e^{\int P(x)dx}$： ${\left(y\cdot e^{\int Pdx}\right)}^{\prime }=Q(x)e^{\int Pdx}$

四、伯努利方程 (Bernoulli)

标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$

解法：令 $u=y^{1-n}$，则方程变为一阶线性方程： $\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$

例：$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=a(\ln x)y^2$，$n=2$，令 $u=y^{-1}$，化为一阶线性求解。

五、一阶方程分类总结

类型	标准形式	核心方法
可分离变量	$g(y)dy=f(x)dx$	直接积分
$f(ax+by)$	$y^{\prime }=f(ax+by)$	$u=ax+by$
齐次方程	$y^{\prime }=\phi (y/x)$	$u=y/x$
一阶线性	$y^{\prime }+Py=Q$	常数变易 / 积分因子
伯努利	$y^{\prime }+Py=Q{y}^n$	$u=y^{1-n}$ 化为线性