§6.1 微分方程的基本概念

一、微分方程的定义

微分方程：含未知函数及其导数的方程。 $F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0$ 或 $y^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$

分类：

• 常微分方程 (ODE)：未知函数为一元函数（本章内容）
• 偏微分方程 (PDE)：未知函数为多元函数

阶：方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数。

二、微分方程的解

解：使方程成为恒等式的函数，也称为解曲线。

类型	定义
通解	解中所含任意常数的个数与方程的阶数相同
特解	不含任意常数的解
显式解	$y=y(x)$ 的形式
隐式解	$H(x,y)=0$ 的形式，至少决定一个满足方程的函数

例：$y=C_1\cos x+C_2\sin x$ 是 $y^{\prime \prime }+y=0$ 的通解（2个独立任意常数 = 2阶）

三、初始条件（初值条件）

对 $n$ 阶方程，初始条件为： $y(x_0)=y_0,y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$

例：$y^{\prime \prime }=6x$，初始条件 $y{|}_{x=1}=1,y^{\prime }{|}_{x=1}=2$， 通解 $y=x^3+C_{1}x+C_2$，代入得特解 $y=x^3-x+1$。

概念关系图

微分方程 → 通解（含n个独立任意常数）
               ↓  + 初始条件
           特解（不含任意常数）