§5.5 定积分的应用

一、微元法（元素法）

核心：若所求量 $U$ 由区间 $[a,b]$ 确定，在小区间 $[x,x+dx]$ 上 $\Delta U\approx f(x)dx$，则： $U={\int }_a^{b}f(x)dx$

三步法：

1. 确定积分区间 $[a,b]$
2. 求被积表达式（微元）$dU=f(x)dx$
3. 写出积分 $U={\int }_a^{b}f(x)dx$

难点：与小区间对应的部分量的具体含义——求什么？怎么求？

二、几何应用

1. 平面图形的面积

图形类型	面积公式
直角坐标（上减下）	$A={\int }_a^b[f_2(x)-f_1(x)]dx$
直角坐标（右减左）	$A={\int }_c^d[{\phi }_2(y)-{\phi }_1(y)]dy$
极坐标	$A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$

经典例题：

• $y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 在第一象限所围面积：$A=\frac{1}{3}$
• 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$：$A=\pi ab$
• 心形线 $r=a(1+\cos \theta )$：$A=\frac{3}{2}\pi a^2$
• 双纽线 $r^2=a^2\cos 2\theta$：$A=a^2$

2. 旋转体的体积

旋转方式	体积公式
曲边梯形绕 $x$ 轴	$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$
曲边梯形绕 $y$ 轴	$V=\pi {\int }_c^d[\phi (y){]}^{2}dy$
曲边梯形绕 $y$ 轴（柱壳法）	$V = 2\pi\int_a^b x

经典例题：

• 椭圆绕 $x$ 轴：$V=\frac{4}{3}\pi a{b}^2$（椭球体）
• 椭圆绕 $y$ 轴：$V=\frac{4}{3}\pi a^{2}b$

3. 平行截面面积已知的立体体积

$V={\int }_a^{b}A(x)dx$

4. 平面曲线的弧长

曲线形式	弧长公式
直角坐标 $y=f(x)$	$s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
参数方程	$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{({\phi }^{\prime }{)}^2+({\psi }^{\prime }{)}^2}dt$
极坐标 $r=r(\theta )$	$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta$

经典例题：摆线 $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$ 的一拱弧长 $=8a$

5. 旋转曲面的面积（考研）

$S=2\pi {\int }_a^b|y|\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

关键公式汇总

所求量	公式
直角坐标面积	$A={\int }_a^b[y_{上}-y_{下}]dx$
极坐标面积	$A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}d\theta$
绕 $x$ 轴体积	$V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$
柱壳法体积	$V = 2\pi\int_a^b x
弧长（直角）	$s={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
旋转曲面面积	$S = 2\pi\int_a^b