§5.4 广义积分（反常积分）

常义积分：积分限有限 + 被积函数有界 → 推广为广义积分。

一、无穷限广义积分（第一类）

${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\lim }_{t\to +\infty }{\int }_a^{t}f(x)dx$

• 极限存在 → 收敛；不存在 → 发散

类似定义 ${\int }_{-\infty }^{b}f$ 和 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f={\int }_{-\infty }^{0}f+{\int }_0^{+\infty }f$（任一部分发散则整体发散）。

计算（类 N-L 公式）

${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={F(x)|}_a^{+\infty }=F(+\infty )-F(a)$

其中 $F(+\infty )={\lim }_{x\to +\infty }F(x)$。

重要判断标准

${\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p>1\\ \text{发散},& p\le 1\end{array}(a>0)$

二、无界函数的广义积分（第二类/瑕积分）

若 $f(x)$ 在 $x=a$ 的右邻域内无界，则 $a$ 为瑕点：

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{t\to 0^{+}}{\int }_{a+t}^{b}f(x)dx$

类似处理 $b$ 为瑕点的情况。

重要判断标准

${\int }_0^1\frac{dx}{x^q}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& q<1\\ \text{发散},& q\ge 1\end{array}$

注意事项

• 瑕积分须先识别瑕点！
• 被积函数的瑕点不一定为其原函数的瑕点
• 若有多个瑕点，需分段处理

三、$\Gamma$ 函数 (Gamma Function)

定义

$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx(s>0)$

性质

1. 递推公式：$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)(s>0)$
2. 正整数：$\Gamma (n+1)=n!$
3. 特殊值：$\Gamma (1)=1$，$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

应用例题

• ${\int }_0^{+\infty }{x}^k{e}^{-ax}dx=\frac{\Gamma (k+1)}{a^{k+1}}(k>-1,a>0)$
• ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$
• ${\int }_0^{+\infty }{x}^2{e}^{-b{x}^2}dx=\frac{1}{2b^{3/2}}\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)$

四、$B$ 函数（贝塔函数）

$B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx(p>0,q>0)$

与 $\Gamma$ 函数的关系：$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$

特例：$B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=\pi$

五、审敛法（概要）

无穷限比较审敛法的极限形式：设 $f(x)\ge 0$ 连续，${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{p}f(x)=l$：

• $0<l<+\infty$ 且 $p>1$ → ${\int }_a^{+\infty }f$ 收敛
• $0<l\le +\infty$ 且 $p\le 1$ → 发散

关键公式汇总

积分	收敛条件
${\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$	$p>1$
${\int }_0^1\frac{dx}{x^q}$	$q<1$
$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$	$s>0$
${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx$	$\frac{\sqrt{\pi }}{2}$