§5.3 定积分的积分法

一、定积分的换元法

第二类换元法（换元同时换限）

定理：设 $f(x)\in C[a,b]$，$x=\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上严格单增且有连续导数，$\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$，则： ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$

核心要点：“换元同时换限”——不走回头路

第一类换元法（凑微分法，不变限）

${\int }_a^{b}f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx={\int }_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)du$

重要的定积分公式

1. 偶倍奇零公式

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}2{\int }_0^{a}f(x)dx,& f\text{ 为偶函数}\\ 0,& f\text{ 为奇函数}\end{array}$

2. 对称区间的对折公式

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_{-a}^a\frac{f(x)+f(-x)}{2}dx$

3. 三角函数积分公式（必考）

公式	条件
${\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_0^{\pi /2}f(\cos x)dx$	$f$ 连续
${\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx$	—
${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$	考研重点
$\int_0^{2\pi} f(	\sin x

4. 周期函数积分公式

若 $f(x)$ 周期为 $T$，则： ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$ ${\int }_a^{a+nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx(n\in \mathbb{N})$

二、定积分的分部积分法

${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx={u(x)v(x)|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$

使用类型（与不定积分类似）：

1. 幂函数 × 三角/指数
2. 幂函数 × 对数/反三角
3. 指数 × 三角函数（建方程）
4. 含导函数的表达式

三、华里士公式 (Wallis)

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$

$$=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \dots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{ 为偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \dots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1,& n\text{ 为奇数}\end{array}$$

递推公式：$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$

例题：${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}xdx=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}$

关键公式汇总

公式	适用场景
换元同时换限	第二类换元法
偶倍奇零	对称区间
平移对称化	${\int }_a^{b}f={\int }_a^{b}f(a+b-x)$
Wallis公式	${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}x/{\cos }^{n}x$
周期函数	${\int }_a^{a+T}f={\int }_0^{T}f$