§5.2 微积分基本公式

一、积分上限函数及其导数

积分上限函数：设 $f(x)\in C[a,b]$，定义 $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt(a\le x\le b)$

定理1：若 $f(x)\in C[a,b]$，则 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 ${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$

即 $\Phi (x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数（定理2）。

积分上限函数架起了定积分与不定积分的桥梁！

变限函数求导（必考）

形式	求导公式
${\int }_a^{x}f(t)dt$	$f(x)$
${\int }_x^{b}f(t)dt$	$-f(x)$
${\int }_a^{b(x)}f(t)dt$	$f[b(x)]\cdot b^{\prime }(x)$
${\int }_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt$	$f[b(x)]b^{\prime }(x)-f[a(x)]a^{\prime }(x)$

二、牛顿—莱布尼茨公式 (N-L Formula)

定理4（微积分基本公式）：设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)={F(x)|}_a^b$

这使得定积分的计算转换为求原函数，大大简化了计算！

三、定积分求 $n$ 项和数列极限

方法：将 $n$ 项和化为 $\frac{1}{n}\sum f(\frac{i}{n})$ 形式： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$

推广：${\lim }_{n\to \infty }\frac{b-a}{n}{\sum }_{i=1}^{n}f(a+i\frac{b-a}{n})={\int }_a^{b}f(x)dx$

如何确定积分区间与被积函数

将分点从小到大排列：$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,\frac{n}{n}$

• 被积函数：含 $\frac{i}{n}$ 的表达式 → 替换为 $x$
• 积分区间：$\frac{i}{n}$ 的范围即 $[0,1]$

例题：

• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1^5+2^5+\cdots +n^5}{n^6}={\int }_0^1{x}^{5}dx=\frac{1}{6}$
• ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\sin \frac{i\pi }{n}={\int }_0^1\sin \pi xdx=\frac{2}{\pi }$

四、重要性质拓展

奇偶函数的积分性质

• 若 $f(x)$ 为奇函数，则 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 为偶函数
• 若 $f(x)$ 为偶函数，则 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 为奇函数

等价无穷小积分性质（考研）

若 $x\to 0$ 时 $f(x)\sim g(x)$（$\mu >0$），则 ${\int }_0^{x}f(t)dt\sim {\int }_0^{x}g(t)dt$

关键公式汇总

公式	说明
$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$	变限求导（核心）
${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$	N-L公式
${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\sum f(\frac{i}{n})={\int }_0^{1}f$	n项和→定积分