§5.1 定积分的基本概念

一、定积分问题的提出

三个引例（共性：特殊乘积和式的极限）：

1. 曲边梯形面积 — 分割 → 近似 → 求和 → 取极限
2. 直线型构件质量 — 同样四步法（微元法）
3. 变力沿直线作功 — 同上

二、定积分的定义

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，插入 $n-1$ 个分点： $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ 记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，任取 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，作和 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$。

令 $\lambda =\max \{\Delta x_i\}$，当 $\lambda \to 0$ 时，若和式总趋于确定极限，则此极限称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分： ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

核心要点

• 两要素：被积函数 $f(x)$ + 积分区间 $[a,b]$
• 与变量记号无关：${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(u)du$
• 可积充分条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点
• 几何意义：${\int }_a^{b}f(x)dx=$ 曲边梯形面积（代数和）
• 物理意义：质量 = ${\int }_a^b\mu (x)dx$，功 = ${\int }_a^{b}F(x)dx$

已知可积时用特殊方法求定积分

若已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，可采用特殊分割（n等分）和特殊取点（左/右端点）求极限值：

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }\frac{b-a}{n}{\sum }_{i=1}^{n}f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)$

例题：${\int }_0^1{x}^{2}dx={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^3}{\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{3}$

三、定积分的性质

规定

1. ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$
2. ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx(a>b)$

基本性质

性质	内容
线性	${\int }_a^b[kf(x)\pm lg(x)]dx=k{\int }_a^{b}f\pm l{\int }_a^{b}g$
可加性	${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$（$a,b,c$ 任意位置）
常数积分	${\int }_a^{b}1dx=b-a$；${\int }_a^{b}kdx=k(b-a)$

不等式性质

性质	内容
保序性	若 $f(x)\ge 0$ 在 $[a,b]$，则 ${\int }_a^{b}f\ge 0$
单调性	若 $f(x)\ge g(x)$，则 ${\int }_a^{b}f\ge {\int }_a^{b}g$
绝对值	$\left
估值	$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$，$M,m$ 为最值

积分中值定理

若 $f(x)\in C[a,b]$，则 $\exists \xi \in [a,b]$，使： ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

推广（第一中值定理）：若 $f,\phi \in C[a,b]$ 且 $\phi$ 不变号，则 $\exists \xi \in [a,b]$ 使： ${\int }_a^{b}f(x)\phi (x)dx=f(\xi ){\int }_a^b\phi (x)dx$

柯西-许瓦兹不等式（考研）

${\left[{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right]}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx$

等号成立 $⟺f(x)=\lambda g(x)$。

非负连续函数积分为零

若 $f(x)\ge 0$ 连续，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx>0⟺\exists c\in [a,b],f(c)>0$。

对折公式

${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$

奇偶对称性

• 若 $f(x)$ 为奇函数：${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$
• 若 $f(x)$ 为偶函数：${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$