§4.3 几种特殊函数的积分

一、有理函数的积分

有理函数: $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{a_n{x}^n+\cdots +a_0}{b_m{x}^m+\cdots +b_0}$

• $n<m$：真分式
• $n\ge m$：假分式（通过多项式除法化为多项式 + 真分式）

四种最简真分式（典型部分分式）

类型	形式	积分结果
1	$\frac{A}{x-a}$	$A\ln
2	$\frac{B}{(x-a{)}^n}(n>1)$	$\frac{B}{1-n}(x-a{)}^{1-n}+C$
3	$\frac{Mx+N}{x^2+px+q}(p^2-4q<0)$	配方 + 拆分 + arctan + ln
4	$\frac{Mx+N}{(x^2+px+q{)}^n}(n>1)$	递推或换元 $x+\frac{p}{2}=\sqrt{q-p^2/4}\tan t$

真分式分解方法

由代数学基本定理，真分式均可分解为最简真分式之和。具体系数由以下方法确定：

方法1 — 待定系数法: 比较同次幂系数，列方程组求解。

方法2 — 公式法: 利用 ${\frac{P(x)}{Q(x)/(x-a)}|}_{x=a}$ 求系数。

方法3 — 赋值法: 代入特殊值（如 $x=0,\pm 1,\dots$）求解。

注意: 有理函数的积分理论上已完全解决，但不一定简便。要根据被积函数结构寻求简便方法。

典型例题

$\int \frac{x^4+1}{x^2+1}dx$：先拆分为 $\int (x^2-1+\frac{2}{x^2+1})dx$

$\int \frac{x^2}{(x^2+2x+2{)}^2}dx$：配方 $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1$，再三角换元

二、三角函数有理式的积分

万能代换: 令 $t=\tan \frac{x}{2}$，则： $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}dt$

万能代换将三角函数有理式化为 $t$ 的有理函数积分，但有时会很繁。

优先考虑的简便方法

条件	简便方法
$R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$	令 $t=\cos x$
$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$	令 $t=\sin x$
$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$	令 $t=\tan x$
分母形如 $a+b\sin x$	$\frac{1}{a+b\sin x}=\frac{a-b\sin x}{a^2-b^2{\sin }^{2}x}$
$\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ 型	分子分母同加/减：$\frac{1}{2}\left(1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\right)$

经典例题:

• $\int \frac{dx}{1+\sin x}$：用万能代换或分子分母同乘 $1-\sin x$ 化为 $\int ({\sec }^{2}x-\sec x\tan x)dx$
• $\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx=-\ln (1+\cos x)+C$（直接凑微分）

关键公式汇总

积分类型	核心方法	备注
有理函数	部分分式分解	四种最简分式
三角函数有理式	万能代换 $t=\tan \frac{x}{2}$	最通用但可繁
$\int \frac{dx}{a\sin x+b\cos x}$	化为 $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{\sin (x+\phi )}$	辅助角公式
$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$	多项式除法 + 部分分式	假分式先除