§4.2(3) 分部积分法

核心公式

分部积分公式: 设 $u(x),v(x)$ 具有连续导数，则： $\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$ 或简记为：$\int udv=uv-\int vdu$

核心思想: $\int u^{\prime }vdx$ 比 $\int u{v}^{\prime }dx$ 更容易计算。

难点: 如何将 $f(x)$ 分解为 $u$ 和 $v^{\prime }$？

四种常见类型及 $u$ 的选取策略

(1) 幂函数 × 正余弦 / 指数函数

取 $u$ = 幂函数，$v^{\prime }$ = 正余弦/指数函数。

例题: $\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C$ 例题: $\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+C$

(2) 幂函数 × 对数函数 / 反三角函数

取 $u$ = 对数函数/反三角函数，$v^{\prime }$ = 幂函数。

例题: $\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$ 例题: $\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$

(3) 指数函数 × 三角函数

需两次分部积分，建立积分方程求解。$u$ 取哪个都可以。

例题: $\int e^x\sin xdx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C$ $\int e^x\cos xdx=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C$

(4) 被积函数含导函数时

常用分部积分 $\int x{f}^{\prime }(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx$。

例题: 已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $e^{-x^2}$，求 $\int x{f}^{\prime }(x)dx$。

常用递推公式

$\int {\sec }^{n}xdx$ 递推公式: $I_n=\frac{\tan x\cdot {\sec }^{n-2}x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}{I}_{n-2}(n\ge 2)$

其中 $I_n=\int {\sec }^{n}xdx$。

高级技巧

表格法（分部积分的快速计算）

对于 $\int P_n(x)e^{ax}dx$ 或 $\int P_n(x)\sin axdx$ 型：

微分列 $u$	积分列 $v^{\prime }$
$P_n(x)$	$e^{ax}$
$P_n^{\prime }(x)$	$\frac{1}{a}{e}^{ax}$
$P_n^{\prime \prime }(x)$	$\frac{1}{a^2}{e}^{ax}$
$\cdots$	$\cdots$

交错相乘即得结果。

先换元再分部 / 先分部再换元

复杂积分可结合换元法和分部积分法，灵活运用。

经典题: $\int \frac{\arctan e^x}{e^x}dx$

答案为：$-e^{-x}\arctan e^x+x-\frac{1}{2}\ln (1+e^{2x})+C$

关键公式汇总

类型	$u$ 选择	典型结果
$\int x^n{e}^{x}dx$	$u=x^n$	递推降幂
$\int x^n\sin xdx$	$u=x^n$	递推降幂
$\int x^n\ln xdx$	$u=\ln x$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x-\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}$
$\int e^{ax}\sin bxdx$	任选	建方程求解
$\int {\sec }^{n}xdx$	$u={\sec }^{n-2}x$	递推公式