§4.2(2) 第二类换元法

核心定理

第二换元法: 设 $x=\psi (t)$ 是可导的严格单调函数，若 $f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)$ 有原函数，则： $\int f(x)dx={\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)dt|}_{t={\psi }^{-1}(x)}$

与第一换元法的区别:

• 第一换元：凑微分 → $\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$
• 第二换元：变量代换 → $x=\psi (t)$，先代换再积分

难点: 如何选择合适的变量代换 $x=\psi (t)$

积分表补充（三角代换推导）

序号	积分公式	代换
(22)	$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$	$x=a\tan t$
(23)	$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln	x+\sqrt{x^2-a^2}
—	$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$	$x=a\sin t$
—	$\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$	$x=a\tan t$
—	$\int \sqrt{x^2-a^2},dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln	x+\sqrt{x^2-a^2}

常用的变量代换

1. 被积函数含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ 时

令 $x=a\sin t$（或 $a\cos t$），$dx=a\cos tdt$，则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$

例题: $\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+C$

2. 被积函数含有 $\sqrt{x^2+a^2}$ 时

令 $x=a\tan t$，$dx=a{\sec }^{2}tdt$，则 $\sqrt{x^2+a^2}=a\sec t$

3. 被积函数含有 $\sqrt{x^2-a^2}$ 时

令 $x=a\sec t$，$dx=a\sec t\tan tdt$，则 $\sqrt{x^2-a^2}=a\tan t$

4. 简单无理函数的积分

被积函数含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$。

例题: $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x+2}+1}$，令 $t=\sqrt[3]{x+2}$，$x=t^3-2$，$dx=3t^{2}dt$

若含 $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，令 $t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$。

若含 $\sqrt[p]{ax+b}$ 和 $\sqrt[q]{ax+b}$，令 $t=\sqrt[k]{ax+b}$，其中 $k$ 为 $p,q$ 的最小公倍数。

5. 分母次数较高时的倒代换

被积函数形如 $\frac{1}{x^m\sqrt{x^2+a^2}}$ 或 $\frac{1}{x^n(a{x}^k+b{)}^m}$ 时，令 $x=\frac{1}{t}$（即 $t=\frac{1}{x}$）。

例题: $\int \frac{dx}{x^7(x^2+2)}$，令 $x=\frac{1}{t}$。

6. 指数代换

被积函数含 $\sqrt{e^x\pm 1}$ 等时，令 $t=\sqrt{e^x\pm 1}$。

例题: $\int \frac{dx}{1+e^x}$（可拆分为 $\int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx$ 或换元 $t=e^x$）

关键公式汇总

含根式	代换	根式简化
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$a\cos t$
$\sqrt{x^2+a^2}$	$x=a\tan t$	$a\sec t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$a\tan t$
$\sqrt[n]{ax+b}$	$x=\frac{t^n-b}{a}$	$t$