§4.2(1) 第一类换元法（凑微分法）

核心定理

第一换元法: 设 $f(u)$ 有原函数，$u=\phi (x)$ 可导，则： $\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f[\phi (x)]d\phi (x)={\int f(u)du|}_{u=\phi (x)}$

难点: 如何将被积函数表达式「凑」为 $f[\phi (x)]\cdot {\phi }^{\prime }(x)$ 的形式。

积分表补充（凑微分推导）

序号	积分公式
(14)	$\int \tan x,dx = -\ln	\cos x	+ C = \ln	\sec x	+ C$
(15)	$\int \cot x,dx = \ln	\sin x	+ C = -\ln	\csc x	+ C$
(16)	$\int \sec x,dx = \ln	\sec x + \tan x	+ C$
(17)	$\int \csc x,dx = \ln	\csc x - \cot x	+ C$
(18)	$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0)$
(19)	$\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left	\frac{x-a}{x+a}\right	+ C$
(20)	$\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left	\frac{a+x}{a-x}\right	+ C$
(21)	$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)$

推导关键

• $\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{d\cos x}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C$
• $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\int \frac{d(x/a)}{1+(x/a{)}^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
• $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\int \left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)dx$（利用部分分式分解）

常见凑微分公式（必记）

类型	公式	凑微分形式
1	$\int f(ax+b)dx$	$\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$
2	$\int f(x^n)x^{n-1}dx$	$\frac{1}{n}\int f(x^n)d{x}^n$
3	$\int f(x^n)\frac{dx}{x}$	$\frac{1}{n}\int f(x^n)\frac{d{x}^n}{x^n}$
4	$\int f(\sin x)\cos xdx$	$\int f(\sin x)d\sin x$
5	$\int f(\cos x)\sin xdx$	$-\int f(\cos x)d\cos x$
6	$\int f(\tan x){\sec }^{2}xdx$	$\int f(\tan x)d\tan x$
7	$\int f(e^x)e^{x}dx$	$\int f(e^x)d{e}^x$
8	$\int f(\ln x)\frac{dx}{x}$	$\int f(\ln x)d\ln x$
9	$\int f(\sqrt{x})\frac{dx}{\sqrt{x}}$	$2\int f(\sqrt{x})d\sqrt{x}$
10	$\int f(\arctan x)\frac{dx}{1+x^2}$	$\int f(\arctan x)d\arctan x$
11	$\int f(\sqrt{x^2+1})\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$	$\int f(\sqrt{x^2+1})d\sqrt{x^2+1}$
12	$\int f(x+\frac{1}{x})(1-\frac{1}{x^2})dx$	$\int f(x+\frac{1}{x})d(x+\frac{1}{x})$
13	$\int f(x-\frac{1}{x})(1+\frac{1}{x^2})dx$	$\int f(x-\frac{1}{x})d(x-\frac{1}{x})$
—	$\int f(\frac{1}{x})\frac{dx}{x^2}$	$-\int f(\frac{1}{x})d\frac{1}{x}$
—	$\int f(x\ln x)(1+\ln x)dx$	$\int f(x\ln x)d(x\ln x)$

三角函数积分的常见技巧

(1) 正余弦高次幂

$\int {\sin }^{k}x{\cos }^{n}xdx$

• $k$ 奇：$\sin xdx=-d\cos x$，化为 $\cos x$ 的积分
• $n$ 奇：$\cos xdx=d\sin x$，化为 $\sin x$ 的积分
• $k,n$ 均偶：降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

(2) 正切/正割类

$\int {\tan }^{n}x{\sec }^{k}xdx$

• $\tan xdx=d\ln |\sec x|$；${\sec }^{2}xdx=d\tan x$
• $\sec x\tan xdx=d\sec x$

经典例题:

• $\int {\sec }^{6}xdx$ → 提取 ${\sec }^{2}x=d\tan x$
• $\int \frac{dx}{1+2{\sin }^{2}x}$ → 分子分母同除 ${\cos }^{2}x$ 化为 $\tan x$
• $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\int ({\sec }^{2}x+{\csc }^{2}x)dx=\tan x-\cot x+C$