§4.1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分

原函数: 若在区间 $I$ 内 $F^{\prime }(x)=f(x)$（或 $dF(x)=f(x)dx$），则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 内的一个原函数。

关键性质:

• 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x)+C$ 也是 $f(x)$ 的原函数
• $f(x)$ 的任意两个原函数之间只相差一个常数

原函数存在定理: 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $I$ 内存在原函数。

不定积分: 区间上函数 $f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作： $\int f(x)dx=F(x)+C$

• $\int$ — 积分号
• $f(x)$ — 被积函数
• $x$ — 积分变量
• $C$ — 积分常数

二、基本积分表

序号	积分公式	序号	积分公式
(1)	$\int kdx=kx+C$	(7)	$\int \sin xdx=-\cos x+C$
(2)	$\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C(\mu \ne -1)$	(8)	$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C$
(3)	$\int \frac{dx}{x} = \ln	x	+ C$
(4)	$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$	(10)	$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$
(5)	$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$	(11)	$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$
(6)	$\int \cos xdx=\sin x+C$	(12)	$\int e^{x}dx=e^x+C$
		(13)	$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

三、不定积分的性质

线性性质

1. $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$（常数因子可提出）
2. $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

互逆关系

$\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x),\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$

即微分与积分互为逆运算。

四、初等变形法

对于被积函数较复杂的情况，先进行代数恒等变形（展开、分解、配凑等），再逐项积分。

例题:

• $\int {\tan }^{2}xdx=\int ({\sec }^{2}x-1)dx=\tan x-x+C$
• $\int \frac{x^4}{1+x^2}dx=\int (x^2-1+\frac{1}{1+x^2})dx=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C$