§3.7 曲率 (Curvature)

一、弧微分 (Arc Differential)

定义: 光滑曲线 $y=f(x)$ 上任意点 $M(x,y)$ 处的弧微分为： $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

推导: $ds={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta x}\cdot dx=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

不同坐标系下的弧微分公式

坐标系	方程形式	弧微分公式
直角坐标	$y=f(x)$	$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
参数方程	$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$	$ds=\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$
极坐标	$\rho =\rho (\theta )$	$ds=\sqrt{{\rho }^2+[{\rho }^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$

二、曲率及其计算

曲率的定义

平均曲率: $\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}\right|$（切线转角与弧长之比）

曲率: $K=\left|\frac{d\alpha }{ds}\right|$（极限值）

曲率计算公式

定理: 设 $y=f(x)$ 为二阶可导函数，则其曲率为： $K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}$

推导:

• $\tan \alpha =y^{\prime }$，故 $\alpha =\arctan y^{\prime }$
• $d\alpha =\frac{y^{\prime \prime }}{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
• $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
• $K=\left|\frac{d\alpha }{ds}\right|=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}$

特例

• 直线 $y=ax+b$：$y^{\prime \prime }=0$，故 $K=0$（直线上任意点处曲率为 0）
• 圆 $x^2+y^2=R^2$：$K=\frac{1}{R}$（R 愈小，曲率愈大）

三、曲率圆与曲率半径

曲率半径: $R=\frac{1}{K}=\frac{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}{|y^{\prime \prime }|}$

曲率圆: 在点 $M(x,y)$ 处作曲线的切线和法线，在曲线的凹向一侧法线上取点 $D$ 使 $|DM|=R$，以 $D$ 为中心、$R$ 为半径的圆。

• 曲率圆与直线 $MT$ 相切
• 圆心在内法线上
• 曲率圆是夹在曲线内的圆中最大的

参数方程下的曲率公式

$K=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{[({\phi }^{\prime }(t){)}^2+({\psi }^{\prime }(t){)}^2{]}^{3/2}}$

关键公式汇总

公式	表达式
弧微分	$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
曲率	$K=\frac{\Vert y^{\prime \prime }\Vert }{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}$
曲率半径	$R=\frac{1}{K}=\frac{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}{\Vert y^{\prime \prime }\Vert }$
极坐标弧微分	$ds=\sqrt{{\rho }^2+({\rho }^{\prime }{)}^2}d\theta$
参数方程弧微分	$ds=\sqrt{({\phi }^{\prime }{)}^2+({\psi }^{\prime }{)}^2}dt$