§3.6 极值与导数的应用

一、函数的极值及其求法

定义: 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有定义，$x_0\in (a,b)$。

• 若存在 $x_0$ 的某邻域使 $f(x)\le f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为极大值
• 若存在 $x_0$ 的某邻域使 $f(x)\ge f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为极小值

极值可疑点

函数的增减性发生改变的点：

• 驻点（$f^{\prime }(x)=0$）
• 不可导点
• 分段点

极值第一判别法（一阶导数变号）

定理: 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且在去心邻域内有导数，当 $x$ 从左到右通过 $x_0$ 时：

• $f^{\prime }(x)$ “左正右负” → $f(x_0)$ 为极大值
• $f^{\prime }(x)$ “左负右正” → $f(x_0)$ 为极小值
• $f^{\prime }(x)$ 符号不变 → 不是极值点

求极值步骤:

1. 求 $f^{\prime }(x)$，确定极值可疑点
2. 列表考察 $f^{\prime }(x)$ 的符号在可疑点左右的变化
3. 由以上定理判定极值，求出极值

极值第二判别法（二阶导数符号）

定理: 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有二阶导数，且 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$：

• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ → $f(x_0)$ 为极大值
• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ → $f(x_0)$ 为极小值

注: 若 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$，第二判别法失效，需用第一判别法或更高阶判别法。

极值第 $n$ 判别法（考研）

定理: 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 点有直到 $n$ 阶导数，且 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\ne 0$

• $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极值点（$f^{(n)}(x_0)>0$ 极小，$<0$ 极大）
• $n$ 为奇数时，$x_0$ 不是极值点，但 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点

二、最大值与最小值

最值可疑点

• 端点
• 极值可疑点（驻点、不可导点、分段点）

方法: 求出所有最值可疑点处的函数值，比较大小即可。

特殊情形: 若 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续，且在 $(a,b)$ 内只有一个极值，则该极值即为最值。

极值与最值的关系

• 极值不一定是最值，最值不一定是极值
• 闭区间内的最值一定是极值
• 最值是整体定义，极值是局部定义

三、导数的应用

应用一：单调函数在区间端点的不等式性质

若 $f(x)\in C[a,b]$ 且单调递增，则：

• $f(a)\le f(x)\le f(b)$（闭区间）
• $f(a^{+})\le f(x)\le f(b^{-})$（开区间）

应用二：证明不等式

利用单调性或凹凸性证明不等式。

例题: 若 $0<x\le \frac{\pi }{2}$，求证 $\frac{2}{\pi }\le \frac{\sin x}{x}<1$

例题: 证明 $\cos x\le 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!},x\in \mathbb{R}$

应用三：讨论方程 $f(x)=0$ 根的个数

步骤:

1. 作出函数 $f(x)$ 的简图（求导、单调区间、极值，不需凹凸性）
2. 根据图形得出方程根的个数与分布区间

例题: 讨论方程 $\ln x=ax$ 有几个实根。

关键公式汇总

判定条件	结论
$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime }(x)$ 左正右负	$x_0$ 为极大值点
$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime }(x)$ 左负右正	$x_0$ 为极小值点
$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)<0$	$x_0$ 为极大值点
$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)>0$	$x_0$ 为极小值点
$f^{\prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)\ne 0$	$n$ 偶→极值，$n$ 奇→拐点