§3.5 函数的渐近线和函数曲线

一、函数的渐近线

1. 水平渐近线

若 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$（或 $x\to +\infty$, $x\to -\infty$），则 $y=A$ 为水平渐近线。

2. 竖直渐近线（垂直渐近线）

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$（或 $x\to x_0^{+}$, $x\to x_0^{-}$），则 $x=x_0$ 为竖直渐近线。

3. 斜渐近线

若直线 $y=ax+b$（$a\ne 0$）满足： ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0$

则 $y=ax+b$ 为斜渐近线。

求法: $a={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x},b={\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax]$

注: 在同一方向（$x\to +\infty$ 或 $x\to -\infty$）上，水平渐近线和斜渐近线不能同时存在。

例题:

• $f(x)=\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$ → 有水平渐近线 $y=1$，竖直 $x=1$
• $y=\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)$ → 有多条渐近线

参数方程曲线的渐近线

类型	条件	渐近线
水平	${\lim }_{t\to t_0}x(t)=\infty ,{\lim }_{t\to t_0}y(t)=A$	$y=A$
竖直	${\lim }_{t\to t_0}x(t)=x_0,{\lim }_{t\to t_0}y(t)=\infty$	$x=x_0$
斜	${\lim }_{t\to t_0}x(t)=\infty ,a={\lim }_{t\to t_0}\frac{y(t)}{x(t)},b={\lim }_{t\to t_0}[y(t)-ax(t)]$	$y=ax+b$

笛卡尔叶形线: $x=\frac{3t}{1+t^3},y=\frac{3t^2}{1+t^3}$，有斜渐近线 $y=-x-\frac{1}{3}$

二、函数曲线的描绘

作图步骤

1. 确定定义域，考察对称性及周期性
2. 求 $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x)$，并求出为 0 和不存在的点
3. 列表讨论增减及凹凸区间
4. 求渐近线
5. 确定某些特殊点，描绘函数图形

三、常用极坐标曲线

极坐标系

$\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta \end{array}$

常见极坐标曲线

曲线	方程	特点
圆	$r=a,r=a\cos \theta ,r=a\sin \theta$	$a>0$
心形线	$r=a(1+\cos \theta ),r=a(1-\cos \theta )$	心形
心形线	$r=a(1+\sin \theta ),r=a(1-\sin \theta )$	旋转心形
三叶玫瑰线	$r=a\sin 3\theta$	三叶
双纽线	$r^2=a^2\sin 2\theta ,r^2=a^2\cos 2\theta$	伯努利双纽线

参数方程曲线

曲线	方程	特点
摆线	$\{\begin{array}{l}x=r(t-\sin t)\\ y=r(1-\cos t)\end{array}$	一拱
星形线	$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^{3}t\\ y=a{\sin }^{3}t\end{array}$	$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$
笛卡尔叶形线	$x^3+y^3=3axy$	参数方程

关键公式汇总

渐近线类型	条件	方程
水平	${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$	$y=A$
竖直	${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$	$x=x_0$
斜	$a=\lim \frac{f(x)}{x},b=\lim [f(x)-ax]$	$y=ax+b$