§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数的单调性

定理: 如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，则

• $f(x)$ 单增的充要条件是 $f^{\prime }(x)\ge 0$
• $f(x)$ 单减的充要条件是 $f^{\prime }(x)\le 0$

注1: 严格单增（$f^{\prime }(x)>0$）是充分条件，非必要（如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处 $f^{\prime }(0)=0$）。

注2: 高阶导函数也适用：$f^{\prime }(x)\ge 0$ 等价于 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$。

达布定理 (Darboux Theorem)

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，则 $f^{\prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有介值性质。

推论: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则 $f^{\prime }(x)>0$（或 $<0$）恒成立，即导数不变号。

单调性发生改变的可疑点

1. 驻点：$f^{\prime }(x)=0$
2. 不可导点：$f^{\prime }(x)$ 不存在
3. 分段点：分段函数的分界点

确定增减区间的步骤

1. 确定定义域
2. 求 $f^{\prime }(x)$，找出所有可疑点
3. 列表讨论各区间的导函数符号

例题: 讨论 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-2x,& x\le 1\\ 2x^3-15x^2+36x-22,& x>1\end{array}$ 的单调区间。

单调性应用 — 证明不等式

例: 证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$

例: 证明当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$\frac{2}{\pi }x<\sin x$

二、曲线的凹凸性

定义: 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$\forall x_1,x_2\in I$，

• 若恒有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则 $f$ 图形是**凹（下凸）**的
• 若恒有 $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则 $f$ 图形是**凸（上凸）**的

凹凸性判别法

定理（二阶导数判别法）: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导。

• 在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则图形为下凸（凹）
• 在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则图形为上凸（凸）

推论（一阶导数判别法）:

• $f^{\prime }(x)$ 单增 → 图形下凸
• $f^{\prime }(x)$ 单减 → 图形上凸

拐点

定义: 曲线 $y=f(x)$ 上凹凸性的分界点 $(x_0,f(x_0))$ 称为曲线的拐点。

判别: 若 $f^{\prime \prime }(x)$ 在点 $x_0$ 两侧异号，则点 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。

凹凸性发生改变的可疑点

1. $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的点
2. $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在的点
3. 分段函数的分段点

确定凹凸区间的步骤

1. 确定定义域
2. 求 $f^{\prime \prime }(x)$，找出可疑点
3. 列表讨论各区间的二阶导数符号

例题: 求 $y=3x^4-4x^3+1$ 的凹凸区间及拐点

• $y^{\prime \prime }=36x^2-24x=12x(3x-2)$
• 可疑点：$x=0,\frac{2}{3}$
• 拐点：$(0,1)$ 和 $(\frac{2}{3},\frac{11}{27})$

关键公式汇总

判定目标	判别条件	结论
单增	$f^{\prime }(x)\ge 0$	充要条件
单减	$f^{\prime }(x)\le 0$	充要条件
下凸（凹）	$f^{\prime \prime }(x)>0$	图形下凸
上凸（凸）	$f^{\prime \prime }(x)<0$	图形上凸
拐点	$f^{\prime \prime }(x)$ 两侧异号	凹凸分界点