§3.3 泰勒公式 (Taylor’s Formula)

一、泰勒公式的建立

核心思想：用多项式逼近函数

可导阶数	近似多项式	系数
一阶	$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+o(x-x_0)$	$a_0=f(x_0),a_1=f^{\prime }(x_0)$
二阶	$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+o((x-x_0{)}^2)$	$a_2=\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}$
$n$阶	$f(x)=P_n(x)+o((x-x_0{)}^n)$	$a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$

两种余项的泰勒公式

皮亚诺余项 (Peano) — 用于求极限 条件：$f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导 $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$

拉格朗日余项 (Lagrange) — 用于讨论函数性质、误差估计 条件：$f(x)$ 在含 $x_0$ 的某开区间 $(a,b)$ 内 $n+1$ 阶可导 $f(x)=P_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},\xi \text{ 在 }{x}_0\text{ 与 }x\text{ 之间}$

两种余项的比较

特征	皮亚诺余项	拉格朗日余项
条件	$n$ 阶可导（点）	$n+1$ 阶可导（区间）
用途	求极限	讨论性质、误差估计
展开点	只能是 $x_0$	可在区间内任意点

重要性质: 若已知 $f(x)$ 的 $n$ 阶泰勒展开式为 $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$ 则 $a_m=\frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}(m=0,1,2,\dots ,n)$

即通过泰勒展开式可反求函数的高阶导数。

二、麦克劳林公式 (Maclaurin)

$x_0=0$ 时的泰勒公式称为麦克劳林公式。

几个初等函数的麦克劳林展开式

函数	展开式	关键项
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$	所有项
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$	奇次项
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$	偶次项
$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+o(x^{2n})$	奇次项
$(1+x{)}^{\alpha }$	$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$	二项式
$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$	交错
$\ln (1-x)$	$-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots -\frac{x^n}{n}+o(x^n)$	全负
$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)$	等比级数
$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$	交错等比
$\tan x$	$x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$	前三阶

性质

• 奇函数的麦克劳林展开式中没有偶数次项
• 偶函数的展开式中没有奇数次项

三、泰勒公式的推广（等价无穷小量的推广）

性质: $\alpha (x)\sim \beta (x)⟺\alpha (x)=\beta (x)+o(\beta (x))$

从泰勒展开可得更精确的等价无穷小：

当 $x\to 0$ 时	等价关系
$e^x-1$	$\sim x$
$e^x-1-x$	$\sim \frac{x^2}{2}$
$e^{-x}-1+x$	$\sim \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}$
$\ln (1+x)-x$	$\sim -\frac{x^2}{2}$
$\ln (1-x)+x$	$\sim -\frac{x^2}{2}$

四、利用泰勒公式求极限

原则: 展开到分子分母最低次项不抵消的阶数。

关键技巧:

• 出现加减运算时，等价无穷小替换需谨慎，泰勒展开更安全
• 展开项数一般取到分母的最高次幂即可

例题:

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x+2\cos x-3}{x^4}=\frac{7}{12}$
2. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}=\frac{1}{3}$

五、利用拉格朗日余项讨论函数性质

应用场景: 涉及高阶导函数零点（根）的问题。

展开点选取原则:

• 端点、中点、最值点
• 原则：展开式越简单越好

解题步骤:

1. 选取展开点，展开函数
2. 将其它已知条件（已知点）代入整理
3. 得出结论

关键公式汇总

函数	麦克劳林展开
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$
$(1+x{)}^{\alpha }$	$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots$