§3.2 洛必达法则 (L’Hôpital’s Rule)

核心思想

$$\frac{0}{0}\text{ 或 }\frac{\infty }{\infty }\text{ 型未定式}⟶\frac{\text{函数之商的极限}}{\text{导数之商的极限}}$$

一、$\frac{0}{0}$ 型未定式

定理1（洛必达法则）: 设 $f(x),F(x)$ 满足：

1. ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}F(x)=0$
2. $f(x)$ 与 $F(x)$ 在 $\mathring{U}(a)$ 内可导，且 $F^{\prime }(x)\ne 0$
3. ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在（或为 $\infty$）

则 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$

注1: $x\to a$ 可换为 $x\to a^{+},a^{-},\infty ,+\infty ,-\infty$。

注2: 若 $\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 仍属 $\frac{0}{0}$ 型且满足条件，可连续使用洛必达法则： $\lim \frac{f}{F}=\lim \frac{f^{\prime }}{F^{\prime }}=\lim \frac{f^{\prime \prime }}{F^{\prime \prime }}=\cdots$

二、$\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式

定理2: 设 $f(x),F(x)$ 满足：

1. ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}F(x)=\infty$
2. $f(x)$ 与 $F(x)$ 在 $\mathring{U}(a)$ 内可导，且 $F^{\prime }(x)\ne 0$
3. ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在（或为 $\infty$）

则同样有 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$

三、洛必达法则的注意事项

⚠️ 洛必达法则只是充分条件！ 若 $\lim \frac{f^{\prime }}{F^{\prime }}$ 不存在，原极限仍可能存在——此时需改用其他方法。

反例: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{\sin x}\left(\ne {\lim }_{x\to 0}\frac{2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}\right)$

使用建议（七步观察法）：

1. 先看是否需要恒等变形
2. 看是否有极限确定且不为 0 的因式，先行求出
3. 是否需要变量代换
4. 等价无穷小量替换（能用先用）
5. 观察完上述各项后，若仍需再用洛必达法则

重要极限比较（$x\to +\infty$ 时）

$\ln x\ll x^{\mu }\ll e^{\lambda x}(\mu >0,\lambda >0)$

后者趋于 $+\infty$ 更快。

例题:

• ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}$（可得 $e^x-1-x\sim \frac{x^2}{2}$）
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$（可得 $\sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}$）

四、其他未定式的转化

$$\begin{array}{c}0\cdot \infty \\ \infty -\infty \\ 0^0\\ {\infty }^0\\ 1^{\infty }\end{array}⟶\begin{array}{c}\frac{0}{0}\\ \frac{\infty }{\infty }\end{array}$$

类型	转化方法	技巧
$0\cdot \infty$	取倒数 → $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$	$f\cdot g=\frac{f}{1/g}$ 或 $\frac{g}{1/f}$
$\infty -\infty$	通分、倒变换	化为分式
$0^0,{\infty }^0,1^{\infty }$	取对数	$\lim f^g=\exp (\lim g\ln f)$

典型例题:

• ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^{\mu }\ln x=0(\mu >0)$
• ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=1$
• ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$（不可直接用洛必达，需取对数）

关键公式汇总

极限	结果	方法
${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$	$1$	重要极限
${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$	$1$	洛必达/等价
${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}$	$1$	洛必达/等价
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x^{\mu }}$	$0$	洛必达
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^{\mu }}{e^{\lambda x}}$	$0$	洛必达