§3.1 微分中值定理

一、费马引理 (Fermat’s Lemma)

费马引理: 设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，且在 $x_0$ 处可导。若对任意 $x\in U(x_0)$，有 $f(x)\le f(x_0)$（或 $f(x)\ge f(x_0)$），则 $f^{\prime }(x_0)=0$。

即可导的极值点处导数为零。

驻点: 导数等于零的点称为函数的驻点。

极值点与最值点的关系

• 最值不一定是极值，极值也不一定是最值
• 最值是整体定义，极值是局部定义

极值: 设函数在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若存在某邻域使 $f(x)\le f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为极大值。

最值: 对于在区间 $I$ 上有定义的函数 $f(x)$，若存在 $x_0\in I$ 使得对一切 $x\in I$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$（或 $\ge$），则称 $f(x_0)$ 为最值。

二、罗尔定理 (Rolle’s Theorem)

罗尔定理: 设 $y=f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导
3. $f(a)=f(b)$

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

注1: 定理条件不全具备，结论不一定成立（反例：不连续、不可导、端点值不等）。

注2: 罗尔定理常用于证明导函数零点的存在性。

辅助函数构造法（罗尔定理应用关键）

若结论中含某导函数形式，常构造辅助函数 $F(x)$ 使其导数含所需部分：

结论含	构造 $F(x)$
$f^{\prime }(\xi )+\frac{f(\xi )}{\xi }$	$F(x)=xf(x)$
$f^{\prime }(\xi )-f(\xi )$	$F(x)=\frac{f(x)}{e^x}$
$f^{\prime }(\xi )+nf(\xi )$	$F(x)=x^{n}f(x)$
$f^{\prime }(\xi )+f(\xi )$	$F(x)=f(x)e^x$
$f^{\prime }(\xi )\cdot f^{\prime \prime }(\xi )$	$F(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$
$\frac{f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )}$	$F(x) = \ln

高阶导函数零点问题

定义（n重零点）: 若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处 $n$ 阶可导，且 $f(a)=f^{\prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)=\cdots =f^{(n-1)}(a)=0,f^{(n)}(a)\ne 0$ 则称 $x=a$ 为 $f(x)=0$ 的 $n$ 重根（$n$ 重零点）。

性质: 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 重零点，则 $x=a$ 为 $f^{\prime }(x)$ 的 $n-1$ 重零点，为 $f^{\prime \prime }(x)$ 的 $n-2$ 重零点……

即高阶导函数的零点可从原函数的重零点去寻求。

零点个数性质

性质: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 $m$ 个零点（多重零点以重数记），且在 $[a,b]$ 上 $n$ 阶可导，则

• $f^{\prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上至少有 $m-1$ 个零点
• $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上至少有 $m-2$ 个零点
• ……
• $f^{(n)}(x)$ 在 $[a,b]$ 上至少有 $m-n$ 个零点

罗尔定理推广形式

推广1: 设 $f(x)$ 满足：

1. 在 $(a,b)$ 内可导
2. ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)={\lim }_{x\to b^{-}}f(x)$

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

推广2: 设 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a,+\infty )$ 上可导
2. $f(a)={\lim }_{x\to +\infty }f(x)$

则在 $(a,+\infty )$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

三、拉格朗日中值定理 (Lagrange MVT)

拉格朗日中值定理: 设 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a,b]$ 上连续
2. 在 $(a,b)$ 内可导

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

也记作：$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$

或 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a)$，其中 $0<\theta <1$。

又名: 有限增量定理

应用: 涉及函数差时常用该定理。

推论: 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，则 $f(x)$ 在 $I$ 上为常值函数的充要条件是 $f^{\prime }(x)\equiv 0$。

应用一：证明恒等式

三步法：

1. 恒等变形（函数移到左边，常数移到右边）
2. 求导，验证导函数为 0
3. 代特殊点求值

例题: 证明 $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2},x\in [-1,1]$

应用二：证明不等式

典型结论: $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$

取 $x=\frac{1}{n}$，得： $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

四、柯西中值定理 (Cauchy MVT)

柯西中值定理: 设 $f(x),g(x)$ 满足：

1. 在 $[a,b]$ 上连续
2. 在 $(a,b)$ 内可导
3. 在 $(a,b)$ 内 $g^{\prime }(x)\ne 0$

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 $g(x)=x$ 时的特殊情况。

⚠️ 常见错误: 不能分别对 $f$ 和 $g$ 用拉格朗日定理然后相比——两个 $\xi$ 不一定相同！

高阶推广

若 $f,g$ 均 $n$ 阶可导且满足一定条件，则存在 $\xi$ 使得： $\frac{f^{(n)}(\xi )}{g^{(n)}(\xi )}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}$

五、导函数的间断点

结论: 导函数在开区间内只有第二类间断点，没有第一类间断点。

（端点处可能是第一类间断点）

关键公式汇总

定理	公式	条件
费马引理	$f^{\prime }(x_0)=0$	$x_0$ 为可导极值点
罗尔定理	$f^{\prime }(\xi )=0$	$f$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)$
拉格朗日	$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$	$f$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导
柯西	$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$	$f,g$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$g^{\prime }\ne 0$