§2.5 函数的微分

§2.5.1 微分的定义

定义：对于函数 $y=f(x)$，若存在常数 $A$，使得 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$ 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，称 $A\Delta x$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分，记为 $dy{|}_{x=x_0}=df(x_0)=A\Delta x$

等价形式：$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(x-x_0)$（线性近似）

可微 ⇔ 可导（⭐核心定理）

定理：函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微 ⇔ 在点 $x_0$ 可导，且 $A=f^{\prime }(x_0)$。

$\boxed{dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx}$

其中 $dx=\Delta x$，称为自变量的微分。

微分的标准写法：$dy=f^{\prime }(x)dx$

导数也称微商：$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$

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§2.5.2 微分的基本公式和运算法则

基本初等函数的微分公式

函数	微分
$C$	$dC=0$
$x^{\mu }$	$d(x^{\mu })=\mu x^{\mu -1}dx$
$\sin x$	$d(\sin x)=\cos xdx$
$\cos x$	$d(\cos x)=-\sin xdx$
$\ln x$	$d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$
$e^x$	$d(e^x)=e^{x}dx$

四则运算法则

设 $u(x)$、$v(x)$ 均可微：

运算法则	公式
和差	$d(u\pm v)=du\pm dv$
积	$d(uv)=vdu+udv$
商	$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$

推导：$d(uv)=(uv{)}^{\prime }dx=(u^{\prime }v+u{v}^{\prime })dx=v\cdot u^{\prime }dx+u\cdot v^{\prime }dx=vdu+udv$

微分形式不变性（⭐复合运算）

定理：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，总有 $\boxed{dy=f^{\prime }(u)du}$ 该性质称为微分形式不变性。

应用一：逐层微分（类似链式法则）

$y=\sin (x^2)$： $dy=\cos (x^2)\cdot d(x^2)=2x\cos (x^2)dx$

原则：逐层微分，直到出现自变量 $x$ 的微分 $dx$ 为止。

应用二：求隐函数的导数

对 $F(x,y)=0$ 两边同时微分，解出 $\frac{dy}{dx}$。

例：由 $x^2+xy-3y^2=7$ 求 $\frac{dy}{dx}$

$2xdx+ydx+xdy-6ydy=0$

$(3y^2-2xy)dy=(2x+y)dx$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y}{3y^2-2xy}$

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§2.5.3 微分的几何意义（重要）

在点 $x_0$ 处，$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 表示切线纵坐标的增量。

• $\Delta y$：曲线纵坐标的增量（精确值）
• $dy$：切线纵坐标的增量（线性近似）

$\Delta y-dy=o(\Delta x)$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小。 在 $x_0$ 的微小局部，用切线替代曲线误差很小——这就是**“以直代曲”**的思想。

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§2.5.4 微分的代数应用——近似计算

当 $|\Delta x|$ 很小时，有近似公式：

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$

特别地（$x_0=0,\Delta x$ 很小时）： $f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)x$

常用近似公式（$|x|$ 很小时）

近似公式	来源
$(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$	幂函数
$e^x\approx 1+x$	指数函数
$\ln (1+x)\approx x$	对数函数
$\sin x\approx x$	正弦函数
$\tan x\approx x$	正切函数

例：求 $\sqrt{17}$ 的近似值。

$f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=16$，$\Delta x=1$

$\sqrt{17}\approx \sqrt{16}+\frac{1}{2\sqrt{16}}\cdot 1=4+\frac{1}{8}=4.125$

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关键公式汇总

公式	说明
$dy=f^{\prime }(x)dx$	微分表达式
可微 ⇔ 可导	核心等价
$dy=f^{\prime }(u)du$	微分形式不变性
$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x$	线性近似
$d(uv)=vdu+udv$	积的微分