§2.3 高阶导数

定义

一般地，函数 $y=f(x)$ 的导函数 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 仍是 $x$ 的函数，若可以继续对 $y^{\prime }$ 求导，即极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f^{\prime }(x+\Delta x)-f^{\prime }(x)}{\Delta x}$ 存在，则称其为 $f^{\prime }(x)$ 的导函数，称其为原函数的二阶导函数。

二阶导数记号：$y^{\prime \prime }$、$f^{\prime \prime }(x)$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$、$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$

更高阶类似：$y^{\prime \prime \prime }$、$y^{(4)}$、…、$y^{(n)}$ 或 $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

求高阶导数的方法

1. 逐阶推导：若 $n$ 阶导函数易求，逐阶求导后归纳规律
2. 定义法（分段点）：在某点处，使用定义 $f^{(n)}(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}$
3. 仅在某点 $n$ 阶可导：只能使用定义

⚠️ 注意：$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 不一定成立！需要导函数连续才行。

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常见初等函数的高阶导数

1. 多项式

$y=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ 的 $n$ 阶导数： $y^{(n)}=n!\cdot a_n$

特别地，$(x^n{)}^{(n)}=n!$

一般幂函数： $(x^{\mu }{)}^{(n)}=\mu (\mu -1)(\mu -2)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}$

2. 指数函数

$(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax}$

特别地，$(e^x{)}^{(n)}=e^x$

3. 三角函数

$\boxed{(\sin x{)}^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)}$

$\boxed{(\cos x{)}^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)}$

推广：$(\sin ax{)}^{(n)}=a^n\sin \left(ax+\frac{n\pi }{2}\right)$

规律：每求一阶导，正弦/余弦函数相位增加 $\frac{\pi }{2}$。

4. 有理分式

${\left(\frac{1}{ax+b}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^n\cdot n!\cdot a^n}{(ax+b{)}^{n+1}}$

例：$y=\frac{1-x}{1+x}$ 的 $n$ 阶导数

$y=-1+\frac{2}{1+x}$，$(y{)}^{(n)}=\frac{2(-1{)}^n\cdot n!}{(1+x{)}^{n+1}}$

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高阶导数的运算法则

线性性

$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

莱布尼兹公式（⭐乘积的高阶导数）

定理：设 $u(x)$、$v(x)$ 都有 $n$ 阶导数，则 $(uv{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$

即： $(uv{)}^{(n)}=C_n^0{u}^{(n)}v+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+C_n^2{u}^{(n-2)}{v}^{\prime \prime }+\cdots +C_n^{n}u{v}^{(n)}$

类似于二项式定理 $(a+b{)}^n$ 的形式！

适用场景：$u$ 或 $v$ 是多项式（高阶导很快变为 0）或三角函数。

典型例题：求 $y=x^2{e}^{2x}$ 的 $20$ 阶导数。

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重点总结

内容	方法
基本初等函数的 $n$ 阶导数	逐阶求导 → 归纳规律
乘积的 $n$ 阶导数	莱布尼兹公式
分段点的高阶导数	必须用定义
抽象函数的高阶导数	逐阶使用链式法则