§2.1-2.2 导数概念与求导法则

§2.1 导数的定义

导数思想最早由法国数学家 Fermat 在研究极值问题中提出。 微积分学创始人：德国数学家 Leibniz、英国数学家 Newton。

引例

1. 变速直线运动的瞬时速度： $v(t_0)={\lim }_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$

2. 曲线的切线斜率：割线 MN 的极限位置 MT $k={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

共性：所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。

导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并称此极限为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$。

等价形式（增量形式）：记 $\Delta x=x-x_0$，则 $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

导数记号：$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$、$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$、$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

导数的其他等价形式： ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$

几何意义：$f^{\prime }(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率。

物理意义：$f^{\prime }(t_0)$ 是 $t_0$ 时刻的瞬时速度。

导函数

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的每一点都可导，记： $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的导函数，简称导数。

导数值等于导函数的函数值：$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x){|}_{x=x_0}$

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可导与连续的关系

可导必连续（⭐）

定理：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

证明：由 $f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$，取极限即得。

$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$

连续不一定可导

典型反例：$y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续，但不可导（尖点）。

可导函数的结构性质

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则： $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$

特殊性质

若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$，则 $f(0)=0$，$f^{\prime }(0)=a$。

若 $f(0)=0$，且 $f^{\prime }(0)$ 存在，则 $f^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}$

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单侧导数

左导数：$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 右导数：$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

性质：$f(x)$ 在 $x_0$ 可导 ⇔ $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

闭区间 $[a,b]$ 上可导记为 $f(x)\in D[a,b]$，需 $f_{+}^{\prime }(a)$ 和 $f_{-}^{\prime }(b)$ 都存在。

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反函数的求导法则

定理：设 $y=f(x)$ 的反函数为 $x=f^{-1}(y)$，若 $f^{\prime }(y)\ne 0$，则 $[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}\text{或}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

反函数的导数等于原函数导数的倒数。

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基本初等函数的求导公式

函数	导数	推导
$C$（常数）	$0$	定义
$x^n$（n∈ℤ⁺）	$n{x}^{n-1}$	二项式展开
$x^{\mu }$（μ为常数）	$\mu x^{\mu -1}$	等价无穷小
$\sin x$	$\cos x$	和差化积
$\cos x$	$-\sin x$	同理
$\tan x$	${\sec }^{2}x$	商的法则
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$	同理
$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	反函数求导
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	同理
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	反函数求导
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	对数定义
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$	换底
$e^x$	$e^x$	等价无穷小
$a^x$	$a^x\ln a$	$a^x=e^{x\ln a}$

重要公式：

• $[\ln |x|{]}^{\prime }=\frac{1}{x}$

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§2.2 导数的四则运算与复合运算

四则运算法则

设 $u(x)$、$v(x)$ 可导，则：

运算法则	公式
和差	$[u\pm v{]}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
积	$[uv{]}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
商	${\left[\frac{u}{v}\right]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

推广（三项积）： $[uvw{]}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$

复合函数求导法则（链式法则 ⭐）

定理：如果 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，而 $y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 处可导，则 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$

即 $[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

多重复合： $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}$

关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导。

重要概念区分

记号	含义
$f^{\prime }(g(x))$	$f^{\prime }(u)$ 在 $u=g(x)$ 处的值
$[f(g(x)){]}^{\prime }$	复合函数的导函数 $=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

对数求导法

适用于幂指函数 $y=x^x$ 等形式：

1. 两边取对数：$\ln y=x\ln x$
2. 两边求导：$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+1$
3. $y^{\prime }=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$

公式：

• $(x^x{)}^{\prime }=x^x(\ln x+1)$
• $(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$

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切线方程与法线方程

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则：

切线方程：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

法线方程：$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$（$f^{\prime }(x_0)\ne 0$）

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关键公式汇总

公式	说明
$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$	导数定义
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$	可导函数结构
可导 ⇒ 连续	逆不真
$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$	反函数求导
$[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$	链式法则
$[\ln	x