§1.5 函数的连续性

§1.5.1 连续性的定义

定义 1（极限值 = 函数值）

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

定义 2（增量定义）

设 $\Delta x=x-x_0$（自变量的改变量），$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$（函数的增量），则：

$f(x)\text{ 在 }{x}_0\text{ 连续}\iff {\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$

自变量的增量趋于 0，则函数的增量也趋于 0。

左连续与右连续

• 左连续：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，即 $f(x_0-0)=f(x_0)$
• 右连续：$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，即 $f(x_0+0)=f(x_0)$

性质：$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 ⇔ $f(x)$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续。

区间连续

• $f(x)\in C(a,b)$：$f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续
• $f(x)\in C[a,b]$：$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（端点处指单侧连续）

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§1.5.2 间断点及其分类

定义 4：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

第一类间断点（左右极限均存在）

类型	条件	例
可去间断点	$f(x_0-0)=f(x_0+0)$	$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$
跳跃间断点	$f(x_0-0)\ne f(x_0+0)$	$f(x)=[x]$（取整函数）在整数点

第二类间断点（至少有一侧极限不存在）

类型	条件	例
无穷间断点	有一侧极限为 $\infty$	$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$；$f(x)=e^{1/x}$ 在 $x=0$
震荡间断点	极限不存在且不趋于 $\infty$	$f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$

连续性判别流程图

$$\begin{array}{rl}& \text{函数在 }{x}_0\text{ 处}\to \{\begin{array}{ll}\text{连续}& \{\begin{array}{l}f(x_0-0)\text{ 存在}\\ f(x_0+0)\text{ 存在}\\ f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)\end{array}\\ \text{第一类间断}& \{\begin{array}{l}\text{可去：}f(x_0-0)=f(x_0+0)\ne f(x_0)\\ \text{跳跃：}f(x_0-0)\ne f(x_0+0)\end{array}\\ \text{第二类间断}& f(x_0-0)\text{ 或 }f(x_0+0)\text{ 至少一个不存在}\end{array}\end{array}$$

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§1.5.3 连续函数的运算

定理 1：四则运算

在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为零）运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

特殊结论：

情况	$f(x)+g(x)$	$f(x)\cdot g(x)$
$f$ 连续，$g$ 间断	间断	间断
$f$ 间断，$g$ 间断	不确定	不确定

定理 2：复合运算

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\phi (x)=u_0$，且 $y=f(u)$ 在 $u_0$ 处连续，即 $\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=f(u_0)$，则 ${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]={\lim }_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$

推论（⭐重要）：连续函数的极限号与函数符号可以交换顺序！

${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]=f\left({\lim }_{x\to x_0}\phi (x)\right)$

例：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\ln \left[\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]=\ln e=1$

连续与连续的复合一定连续。连续与间断或间断与连续的复合不一定间断。

定理 3：反函数

严格单调递增（递减）的连续函数 $y=f(x)$，其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也是严格单调递增（递减）的连续函数。

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§1.5.4 初等函数的连续性

基本初等函数

函数类	内容	连续性
常值函数	$y=C$	$\mathbb{R}$ 连续
幂函数	$y=x^{\mu }$	定义域连续
指数函数	$y=a^x$（$a>0,a\ne 1$）	$\mathbb{R}$ 连续
对数函数	$y={\log }_{a}x$	$(0,+\infty )$ 连续
三角函数	$\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$	定义域连续
反三角函数	$\arcsin x,\arccos x,\arctan x$	定义域连续

重要定理

定理 4：基本初等函数在其定义域上都是连续的。

定理 5：初等函数在其定义区间上都是连续的。

初等函数：由基本初等函数经有限次四则运算与复合运算而成的函数。

利用连续性求极限：若 $f(x)$ 是初等函数，$x_0$ 是其定义区间内的点，则： ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

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§1.5.5 闭区间上连续函数的性质

定理 6：有界性定理

若 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

⚠️ 开区间则不一定。例如 $y=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内无界。

定理 7：最值定理

若 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必可取到最大值和最小值，即存在 ${\xi }_1,{\xi }_2\in [a,b]$，使得 $f({\xi }_1)={\min }_{a\le x\le b}f(x),f({\xi }_2)={\max }_{a\le x\le b}f(x)$

⚠️ 开区间则不一定。例如 $y=x$ 在 $(0,1)$ 内无最值。

定理 8：零点存在定理（根的存在定理）

若 $f(x)\in C[a,b]$，且 $f(a)\cdot f(b)<0$（异号），则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi )=0$。

• 零点 $x_0$：$f(x_0)=0$，也是方程 $f(x)=0$ 的根
• 推广：$f(a+0)\cdot f(b-0)<0$ 也成立，$a=-\infty$ 或 $b=+\infty$ 结论仍成立

推论：任一奇数次代数方程至少有一个实根。

定理 9：介值定理

若 $f(x)\in C[a,b]$，$M$ 与 $m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值与最小值，$c$ 是 $m$ 与 $M$ 间的任意数（$m\le c\le M$），则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi )=c$。

介值定理的推广：

若 $f(x)\in C(a,b)$，$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=A$，$\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=B$（$A<B$），则对于 $C\in (A,B)$，必有 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=C$。（$a,b$ 可以为 $\pm \infty$，$A,B$ 可以为 $\pm \infty$）

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关键定理汇总

定理	条件	结论
有界性定理	$f\in C[a,b]$	$f$ 在 $[a,b]$ 上有界
最值定理	$f\in C[a,b]$	$[a,b]$ 上存在最大值和最小值
零点存在定理	$f\in C[a,b]$，$f(a)f(b)<0$	$\exists \xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$
介值定理	$f\in C[a,b]$，$m\le c\le M$	$\exists \xi \in [a,b]$ 使 $f(\xi )=c$
初等函数连续性	$f$ 是初等函数	$f$ 在定义区间连续